Esercizio 2 Sia $$ f: X ightarrow Y $$ un'applicazione tra due insiemi, e sia $$ A \subset X $$. a) si dia la definizione dell' immagine $$ f(A) $$ di $$ A $$ tramite $$ f $$; b) Si dica quali delle seguenti inclusioni ((i), (ii) o entrambe) sono sempre vere: (i) $$ f(X-A) \subset f(X)-f(A) $$ (ii) $$ f(X-A) \supset f(X)-f(A) $$ c) se f è iniettiva vale $$ f(X-A)=f(X)-f(A) $$ ? (Con - si intende la differenza di insiemi, cioè $$ A-B=\{a \in A \mid a
otin B\} $$ ).

Question

Esercizio 2 Sia $$ f: X ightarrow Y $$ un'applicazione tra due insiemi, e sia $$ A \subset X $$. a) si dia la definizione dell' immagine $$ f(A) $$ di $$ A $$ tramite $$ f $$; b) Si dica quali delle seguenti inclusioni ((i), (ii) o entrambe) sono sempre vere: (i) $$ f(X-A) \subset f(X)-f(A) $$ (ii) $$ f(X-A) \supset f(X)-f(A) $$ c) se f è iniettiva vale $$ f(X-A)=f(X)-f(A) $$ ? (Con - si intende la differenza di insiemi, cioè $$ A-B=\{a \in A \mid a 
otin B\} $$ ).

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a) **Definizione dell'immagine $$ f(A) $$ di $$ A $$ tramite $$ f $$:**

L'immagine di un sottoinsieme $$ A \subset X $$ tramite l'applicazione $$ f: X \rightarrow Y $$ è l'insieme di tutti gli elementi di $$ Y $$ che sono immagini di almeno un elemento di $$ A $$. Formalmente,

$$
f(A) = \{\, f(a) \mid a \in A \,\}
$$

b) **Verificare quali inclusioni sono sempre vere:**

Consideriamo le due inclusioni:

(i) $$ f(X - A) \subset f(X) - f(A) $$

(ii) $$ f(X - A) \supset f(X) - f(A) $$

Analizziamo ciascuna:

- **Inclusione (i): $$ f(X - A) \subset f(X) - f(A) $$**

Questa inclusione è sempre vera. Infatti, se $$ y \in f(X - A) $$, allora esiste $$ x \in X - A $$ tale che $$ f(x) = y $$. Poiché $$ x \notin A $$, $$ y $$ non può essere un'immagine di un elemento di $$ A $$, quindi $$ y \notin f(A) $$. Pertanto, $$ y \in f(X) - f(A) $$.

- **Inclusione (ii): $$ f(X - A) \supset f(X) - f(A) $$**

Questa inclusione non è sempre vera. In generale, esistono applicazioni $$ f $$ non iniettive per le quali esistono elementi in $$ f(X) - f(A) $$ che non appartengono a $$ f(X - A) $$. Per esempio, se $$ f $$ non è iniettiva e esistono $$ x_1 \in A $$ e $$ x_2 \in X - A $$ tali che $$ f(x_1) = f(x_2) $$, allora $$ f(x_1) $$ appartiene a $$ f(A) $$ e anche a $$ f(X - A) $$, ma non tutti gli elementi di $$ f(X) - f(A) $$ necessariamente appartengono a $$ f(X - A) $$.

**Conclusione:** Solo l'inclusione (i) è sempre vera.

c) **Verifica se, se $$ f $$ è iniettiva, vale $$ f(X - A) = f(X) - f(A) $$:**

Sì, se $$ f $$ è iniettiva, allora $$ f(X - A) = f(X) - f(A) $$.

**Dimostrazione:**

- **Direzione $$ \subseteq $$:** Come visto nella parte (b)(i), sempre $$ f(X - A) \subset f(X) - f(A) $$.

- **Direzione $$ \supseteq $$ (necessaria per l'uguaglianza):** Supponiamo che $$ f $$ sia iniettiva. Se $$ y \in f(X) - f(A) $$, allora esiste un unico $$ x \in X $$ tale che $$ f(x) = y $$. Inoltre, $$ y \notin f(A) $$ implica che $$ x \notin A $$. Quindi $$ x \in X - A $$ e, poiché $$ f $$ è iniettiva, $$ y = f(x) \in f(X - A) $$.

Pertanto, $$ f(X) - f(A) \subset f(X - A) $$.

**Conclusione:** Se $$ f $$ è iniettiva, allora $$ f(X - A) = f(X) - f(A) $$.
a) **Definizione dell'immagine $$ f(A) $$ di $$ A $$ tramite $$ f $$:** L'immagine di un sottoinsieme $$ A \subset X $$ tramite l'applicazione $$ f: X \rightarrow Y $$ è l'insieme di tutti gli elementi di $$ Y $$ che sono immagini di almeno un elemento di $$ A $$. Formulato formalmente, $$ f(A) = \{\, f(a) \mid a \in A \,\} $$ b) **Verificare quali inclusioni sono sempre vere:** - **Inclusione (i): $$ f(X - A) \subset f(X) - f(A) $$** Questa inclusione è sempre vera. - **Inclusione (ii): $$ f(X - A) \supset f(X) - f(A) $$** Questa inclusione non è sempre vera. **Conclusione:** Solo l'inclusione (i) è sempre vera. c) **Verifica se, se $$ f $$ è iniettiva, vale $$ f(X - A) = f(X) - f(A) $$:** Sì, se $$ f $$ è iniettiva, allora $$ f(X - A) = f(X) - f(A) $$. **Conclusione:** Se $$ f $$ è iniettiva, allora $$ f(X - A) = f(X) - f(A) $$.

Esercizio 2 Sia un’applicazione tra due insiemi, e sia .
a) si dia la definizione dell’ immagine di tramite ;
b) Si dica quali delle seguenti inclusioni ((i), (ii) o entrambe) sono sempre vere:
(i)
(ii)
c) se f è iniettiva vale ?
(Con - si intende la differenza di insiemi, cioè ).

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Esercizio 2 Sia un’applicazione tra due insiemi, e sia . a) si dia la definizione dell’ immagine di tramite ; b) Si dica quali delle seguenti inclusioni ((i), (ii) o entrambe) sono sempre vere: (i) (ii) c) se f è iniettiva vale ? (Con - si intende la differenza di insiemi, cioè ).