Esercizio 2 Sia \( f: X \rightarrow Y \) un'applicazione tra due insiemi, e sia \( A \subset X \). a) si dia la definizione dell' immagine \( f(A) \) di \( A \) tramite \( f \); b) Si dica quali delle seguenti inclusioni ((i), (ii) o entrambe) sono sempre vere: (i) \( f(X-A) \subset f(X)-f(A) \) (ii) \( f(X-A) \supset f(X)-f(A) \) c) se f è iniettiva vale \( f(X-A)=f(X)-f(A) \) ? (Con - si intende la differenza di insiemi, cioè \( A-B=\{a \in A \mid a \notin B\} \) ).

L'immagine \( f(A) \) di un insieme \( A \) tramite l'applicazione \( f \) è definita come l'insieme di tutti i valori che \( f \) assume sugli elementi di \( A \). In altre parole, si ha \( f(A) = \{ f(a) \mid a \in A \} \). Questa definizione ci consente di mappare i sottoinsiemi del dominio \( X \) nell'insieme \( Y \) attraverso la funzione \( f \). Per quanto riguarda le inclusioni, (i) \( f(X-A) \subset f(X)-f(A) \) è sempre vera, mentre (ii) \( f(X-A) \supset f(X)-f(A) \) non è sempre vera. Infatti, l'inclusione (i) riflette il fatto che i valori di \( f \) sugli elementi fuori da \( A \) non possono includere i valori di \( f \) degli elementi in \( A \), mentre (ii) può fallire se ci sono elementi in \( X \setminus A \) che mappano agli stessi valori di \( f \) di elementi in \( A \). Se \( f \) è iniettiva, allora effettivamente vale \( f(X-A)=f(X)-f(A) \). Questo perché, in un'applicazione iniettiva, ogni valore \( f(x) \) è unico per ogni \( x \in X \). Pertanto, non ci possono essere sovrapposizioni tra gli elementi di \( f(X - A) \) e quelli di \( f(A) \) e il risultato è che l'immagine complementare è esattamente l'immagine totale meno l'immagine di \( A \).