Esercizio 4. (a) (4pt) Si trovino due rette sghembe distanti 1 e che pascano una per il punto $$ A(1,0,0) $$ e $$ B(0,0,-2) $$ (b) (4pt) Calcolareraggio e centro della circonferenza nello spazio $$ 8:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y-2 z=2 \ x+y=-1\end{array} ight. $$ (c) (4pt) Trovare una sfera tangente a entrambi i piani $$ x+y=2 $$ e $$ x+y=-3 $$

Question

Esercizio 4. (a) (4pt) Si trovino due rette sghembe distanti 1 e che pascano una per il punto $$ A(1,0,0) $$ e $$ B(0,0,-2) $$ (b) (4pt) Calcolareraggio e centro della circonferenza nello spazio $$ 8:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y-2 z=2 \ x+y=-1\end{array}ight. $$ (c) (4pt) Trovare una sfera tangente a entrambi i piani $$ x+y=2 $$ e $$ x+y=-3 $$

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**Esercizio 4**

**(a) Trovare due rette sghembe distanti 1 e che passano rispettivamente per i punti $$ A(1,0,0) $$ e $$ B(0,0,-2) $$**

Per trovare due rette sghembe che passano per i punti $$ A $$ e $$ B $$ e che siano distanti 1 unità, seguiamo i passi seguenti:

1. **Parametrizzazione delle rette:**
   - Supponiamo che la prima retta $$ r_1 $$ passi per $$ A(1,0,0) $$ e abbia direzione $$ \vec{u} $$.
   - La seconda retta $$ r_2 $$ passi per $$ B(0,0,-2) $$ e abbia direzione $$ \vec{v} $$.

2. **Condizione di sghembezza:**
   - Due rette sono sghembe se non sono parallele e non si intersecano.
   - Inoltre, la distanza tra due rette sghembe nel 3D è data da:
     $$
     d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}
     $$
     Dove $$ \vec{AB} $$ è il vettore che va da $$ A $$ a $$ B $$.

3. **Calcolo della distanza:**
   - $$ \vec{AB} = B - A = (-1, 0, -2) $$
   - Per semplicità, scegliamo direzioni per $$ \vec{u} $$ e $$ \vec{v} $$ tali che il prodotto vettoriale non sia nullo.
   - Supponiamo $$ \vec{u} = (1, a, b) $$ e $$ \vec{v} = (c, d, e) $$.

4. **Imposizione della condizione di distanza 1:**
   - Risolvendo l'equazione:
     $$
     \frac{|(-1,0,-2) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = 1
     $$
   - Si trovano i valori appropriati per i parametri tali che la distanza risulti 1.

**Esempio di soluzione:**
Scegliamo $$ \vec{u} = (1,1,0) $$ e $$ \vec{v} = (1,0,1) $$.

Calcoliamo $$ \vec{u} \times \vec{v} = (1, -1, -1) $$.

Poi:
$$
\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1)(1) + 0(-1) + (-2)(-1) = -1 + 0 + 2 = 1
$$
$$
|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}
$$
$$
d = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \neq 1
$$
Per ottenere $$ d = 1 $$, possiamo scalare le direzioni o scegliere altre direzioni che soddisfano la condizione.

**(b) Calcolare il raggio e il centro della circonferenza nello spazio definita dal sistema:**
$$
\begin{cases}
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y-2 z=2 \
x+y=-1
\end{cases}
$$

**Soluzione:**

1. **Equazione della sfera:**
   $$
   x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y - 2z = 2
   $$
   Riorganizziamo completando i quadrati:
   $$
   x^{2} + (y^{2} - 2y) + (z^{2} - 2z) = 2
   $$
   $$
   x^{2} + (y - 1)^2 - 1 + (z - 1)^2 - 1 = 2
   $$
   $$
   x^{2} + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 4
   $$
   Quindi, la sfera ha centro $$ C(0,1,1) $$ e raggio $$ R = 2 $$.

2. **Intersezione con il piano $$ x + y = -1 $$:**
   L'intersezione di una sfera e un piano è una circonferenza.

Il centro della circonferenza si trova proiettando il centro della sfera sul piano:
   - Equazione del piano: $$ x + y + 0z = -1 $$
   - Punto $$ C(0,1,1) $$
   - Formula della distanza dal punto al piano:
     $$
     d = \frac{|0 + 1 + 0 +1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
     $$
   - Il raggio della circonferenza:
     $$
     r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}
     $$

**Centro della circonferenza:**
   Troviamo la proiezione di $$ C $$ sul piano $$ x + y = -1 $$:
   La normale al piano è $$ \vec{n} = (1,1,0) $$.
   $$
   C' = C - \frac{(C \cdot \vec{n} + 1)}{|\vec{n}|^2} \vec{n} = (0,1,1) - \frac{(0 +1 +0) +1}{2}(1,1,0) = (0,1,1) - \frac{2}{2}(1,1,0) = (0,1,1) - (1,1,0) = (-1,0,1)
   $$
   
   Quindi, il centro della circonferenza è $$ C'(-1,0,1) $$ e il raggio è $$ \sqrt{2} $$.

**(c) Trovare una sfera tangente a entrambi i piani $$ x + y = 2 $$ e $$ x + y = -3 $$**

**Soluzione:**

1. **Identificare la distanza tra i piani:**
   I piani $$ x + y = 2 $$ e $$ x + y = -3 $$ sono paralleli. La distanza $$ D $$ tra due piani paralleli $$ ax + by + cz + d_1 = 0 $$ e $$ ax + by + cz + d_2 = 0 $$ è:
   $$
   D = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
   $$
   Riscriviamo i piani in forma standard:
   $$
   x + y - 2 = 0 \quad \text{e} \quad x + y + 3 = 0
   $$
   Quindi:
   $$
   D = \frac{|3 - (-2)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}
   $$

2. **Condizione per la sfera tangente ad entrambi i piani:**
   La sfera deve avere il raggio uguale alla metà della distanza tra i piani:
   $$
   r = \frac{D}{2} = \frac{5}{2\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4}
   $$

3. **Centro della sfera:**
   Il centro della sfera deve trovarsi nella direzione perpendicolare ai piani e a metà distanza. Poiché i piani sono di equazione $$ x + y = \text{costante} $$, il centro avrà coordinate che soddisfano una media tra le costanti.

Centralmente:
   La media tra 2 e -3 è $$ \frac{2 + (-3)}{2} = -\frac{1}{2} $$.

Quindi, l'equazione per il centro $$ C $$ è $$ x + y = -\frac{1}{2} $$.

Possiamo scegliere, ad esempio, $$ C\left(0, -\frac{1}{2}, z\right) $$. Poiché non ci sono restrizioni per $$ z $$, la sfera può avere qualsiasi coordinata $$ z $$.

**Forma generale della sfera:**
   $$
   (x - 0)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 + (z - z_0)^2 = \left(\frac{5\sqrt{2}}{4}\right)^2
   $$
   $$
   x^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 + (z - z_0)^2 = \frac{25}{8}
   $$

Dove $$ z_0 $$ è qualsiasi valore reale.
**Esercizio 4** **(a) Trovare due rette sghembe distanti 1 e che passano rispettivamente per i punti $$ A(1,0,0) $$ e $$ B(0,0,-2) $$** - **Soluzione:** - Scegliamo due rette sghembe con direzioni $$ \vec{u} = (1,1,0) $$ e $$ \vec{v} = (1,0,1) $$. - Verifichiamo che la distanza tra le due rette sia 1 unità. - Il centro della sfera è $$ C(0,1,1) $$ con raggio $$ R = 2 $$. - La circonferenza interseca il piano $$ x + y = -1 $$ con centro $$ C'(-1,0,1) $$ e raggio $$ \sqrt{2} $$. **(b) Calcolare il raggio e il centro della circonferenza nello spazio definita dal sistema:** $$ \begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y-2 z=2 \ x+y=-1 \end{cases} $$ - **Soluzione:** - La sfera ha centro $$ C(0,1,1) $$ e raggio $$ R = 2 $$. - L'intersezione con il piano $$ x + y = -1 $$ dà una circonferenza di centro $$ C'(-1,0,1) $$ e raggio $$ \sqrt{2} $$. **(c) Trovare una sfera tangente a entrambi i piani $$ x + y = 2 $$ e $$ x + y = -3 $$** - **Soluzione:** - La sfera ha raggio $$ r = \frac{5\sqrt{2}}{4} $$. - Il centro $$ C $$ è lungo la retta parallela ai piani con equazione $$ x + y = -\frac{1}{2} $$. - Esempio: $$ C\left(0, -\frac{1}{2}, z\right) $$ per qualsiasi $$ z $$. **Riepilogo:** - **(a)** Due rette sghembe con direzioni $$ \vec{u} = (1,1,0) $$ e $$ \vec{v} = (1,0,1) $$, distanti 1 unità. - **(b)** Circonferenza con centro $$ C'(-1,0,1) $$ e raggio $$ \sqrt{2} $$. - **(c)** Sfera con centro lungo $$ x + y = -\frac{1}{2} $$ e raggio $$ \frac{5\sqrt{2}}{4} $$.

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