Question
Esercizio 4. (a) (4pt) Si trovino due rette sghembe distanti 1 e che pascano una per il punto
e
(b) (4pt) Calcolareraggio e centro della circonferenza nello spazio
© (4pt) Trovare una sfera tangente a entrambi i piani
e
(b) (4pt) Calcolareraggio e centro della circonferenza nello spazio
© (4pt) Trovare una sfera tangente a entrambi i piani
Ask by Cummings Simpson. in Italy
Jan 20,2025
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Esercizio 4
(a) Trovare due rette sghembe distanti 1 e che passano rispettivamente per i punti
e
- Soluzione:
- Scegliamo due rette sghembe con direzioni
e . - Verifichiamo che la distanza tra le due rette sia 1 unità.
- Il centro della sfera è
con raggio . - La circonferenza interseca il piano
con centro e raggio .
- Scegliamo due rette sghembe con direzioni
(b) Calcolare il raggio e il centro della circonferenza nello spazio definita dal sistema:
- Soluzione:
- La sfera ha centro
e raggio . - L’intersezione con il piano
dà una circonferenza di centro e raggio .
- La sfera ha centro
© Trovare una sfera tangente a entrambi i piani
e
- Soluzione:
- La sfera ha raggio
. - Il centro
è lungo la retta parallela ai piani con equazione . - Esempio:
per qualsiasi .
- La sfera ha raggio
Riepilogo:
- (a) Due rette sghembe con direzioni
e , distanti 1 unità. - (b) Circonferenza con centro
e raggio . - © Sfera con centro lungo
e raggio .
Solution

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The Deep Dive
Immagina di voler trovare due rette sghembe, lontane 1 unità tra loro, passando per i punti A(1,0,0) e B(0,0,-2). Questa situazione si presta a una visualizzazione molto intrigante: puoi immaginare queste rette come strade nel cielo che si librano nell’aria senza mai toccarsi, mentre percorrono le coordinate 3D. Per iniziare, definisci le direzioni delle rette usando i vettori, e successivamente applica la distanza tra rette per verificare che il tuo risultato finale sia corretto.
Ora passiamo a calcolare raggio e centro della circonferenza nello spazio. Tu hai un sistema di equazioni che ti guiderà! Convertendo quello che sembra un rompicapo geometrico in un problema di algebra lineare, puoi facilmente trovare i punti di intersezione e il centro della circonferenza. E non dimenticare di applicare il teorema di Pitagora nel caso ti serva a calcolare il raggio da questi punti al centro!
Per la sfera tangente ai piani, immagina di voler racchiudere una comunione di spazi: due piani paralleli che si avvicinano e allontanano, e tu, come un artista, desideri racchiuderli in una sfera perfetta. Identifica il punto centrale a metà strada tra i piani, e ricorda che il raggio sarà la distanza da questo punto a uno dei piani. Applicando queste idee potrai trovare una sfera che non si dimentica di rispettare la tangenzialità!