$$ \left. \begin{array} { r r } { \sqrt { ( 5 - b ) ^ { 2 } + ( 4 - 0 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 32 } } & { ( 5 - b ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = 32 } \ { \sqrt { ( 5 - b ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = \sqrt { 32 } } & { ( 5 - b ) ^ { 2 } = 16 } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { r r } { \sqrt { ( 5 - b ) ^ { 2 } + ( 4 - 0 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 32 } } & { ( 5 - b ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = 32 } \ { \sqrt { ( 5 - b ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = \sqrt { 32 } } & { ( 5 - b ) ^ { 2 } = 16 } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

根據兩點之間的距離公式，我們可以進行以下的計算步驟：

$$
\begin{array}{rl}
\sqrt{(5 - b)^2 + (4 - 0)^2} &= \sqrt{32} \
(5 - b)^2 + 4^2 &= 32 \
\sqrt{(5 - b)^2 + 16} &= \sqrt{32} \
(5 - b)^2 &= 16 \
\end{array}
$$

**步驟解析：**

1. **應用距離公式：**
   
   兩點 $$(b, 0)$$ 與 $$(5, 4)$$ 之間的距離公式為：
   
   $$
   \sqrt{(5 - b)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{32}
   $$
   
2. **平方兩邊以去除平方根：**
   
   $$
   (5 - b)^2 + 4^2 = 32
   $$
   
   計算 $$4^2$$ 得：
   
   $$
   (5 - b)^2 + 16 = 32
   $$
   
3. **移項並簡化方程式：**
   
   $$
   (5 - b)^2 = 32 - 16
   $$
   
   $$
   (5 - b)^2 = 16
   $$
   
4. **解二次方程式：**
   
   對於 $$(5 - b)^2 = 16$$，我們取平方根得到：
   
   $$
   5 - b = \pm 4
   $$
   
   這產生兩個可能的解：
   
   - 當 $$5 - b = 4$$ 時，解得 $$b = 1$$
   - 當 $$5 - b = -4$$ 時，解得 $$b = 9$$
   
**最終解答：**

$$ b = 1 $$ 或 $$ b = 9 $$
$$ b = 1 $$ 或 $$ b = 9 $$

\( \left. \begin{array} { r r } { \sqrt { ( 5 - b ) ^ { 2 } + ( 4 - 0 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 32 } } & { ( 5 - b ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = 32 } \\ { \sqrt { ( 5 - b ) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = \sqrt { 32 } } & { ( 5 - b ) ^ { 2 } = 16 } \end{array} \right. \)

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