$$ 81 x ^ { 4 n ^ { 2 } } + \frac { 9 } { 4 } + 27 ^ { 2 n } ; \quad 6,25 + y ^ { 12 n } + 5 y ^ { 6 n } $$

Question

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Certamente! Procediamo con la semplificazione e la fattorizzazione delle due espressioni fornite.

### 1. Espressione: $$ 81x^{4n^{2}} + \frac{9}{4} + 27^{2n} $$

**Passo 1: Espressione in termini di potenze di 3**

- $$ 81 = 3^4 $$
- $$ 27 = 3^3 $$, quindi $$ 27^{2n} = (3^3)^{2n} = 3^{6n} $$

Quindi l'espressione diventa:
$$
3^4 x^{4n^{2}} + \frac{9}{4} + 3^{6n}
$$

**Passo 2: Osservazione delle potenze**

Notiamo che $$ x^{4n^{2}} = (x^{n})^{4n} $$, ma senza ulteriori informazioni su $$ n $$ o possibili relazioni tra i termini, non è possibile fattorizzare ulteriormente l'espressione in una forma più semplice.

**Conclusione:**
L'espressione semplificata rimane:
$$
81x^{4n^{2}} + \frac{9}{4} + 27^{2n}
$$

### 2. Espressione: $$ 6{,}25 + y^{12n} + 5y^{6n} $$

**Passo 1: Convertire 6,25 in frazione**

- $$ 6{,}25 = \frac{25}{4} = \left( \frac{5}{2} \right)^2 $$

**Passo 2: Riconoscere una forma quadratica**

L'espressione può essere vista come una quadratica in termini di $$ y^{6n} $$:
$$
y^{12n} + 5y^{6n} + 6{,}25 = \left( y^{6n} \right)^2 + 5y^{6n} + \left( \frac{5}{2} \right)^2
$$

**Passo 3: Tentare la fattorizzazione**

Cerchiamo due numeri che moltiplicati diano $$ \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4} $$ e sommati diano $$ 5 $$.

Notiamo che:
$$
\frac{5}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{25}{4}
$$
$$
\frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5
$$

Quindi, l'espressione può essere scritta come un quadrato perfetto:
$$
\left( y^{6n} + \frac{5}{2} \right)^2
$$

**Conclusione:**
L'espressione fattorizzata è:
$$
6{,}25 + y^{12n} + 5y^{6n} = \left( y^{6n} + \frac{5}{2} \right)^2
$$

### Riassunto

- **Prima espressione:** Non è possibile fattorizzare ulteriormente senza ulteriori informazioni.
- **Seconda espressione:** Si fattorizza come un quadrato perfetto:
$$
\left( y^{6n} + \frac{5}{2} \right)^2
$$

Spero che queste spiegazioni siano utili!
L'espressione $$ 81x^{4n^{2}} + \frac{9}{4} + 27^{2n} $$ non può essere semplificata ulteriormente senza ulteriori informazioni. L'altra espressione $$ 6{,}25 + y^{12n} + 5y^{6n} $$ può essere fattorizzata come $$ \left( y^{6n} + \frac{5}{2} \right)^2 $$.

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