\( 81 x ^ { 4 n ^ { 2 } } + \frac { 9 } { 4 } + 27 ^ { 2 n } ; \quad 6,25 + y ^ { 12 n } + 5 y ^ { 6 n } \)

Certamente! Procediamo con la semplificazione e la fattorizzazione delle due espressioni fornite. ### 1. Espressione: \( 81x^{4n^{2}} + \frac{9}{4} + 27^{2n} \) **Passo 1: Espressione in termini di potenze di 3** - \( 81 = 3^4 \) - \( 27 = 3^3 \), quindi \( 27^{2n} = (3^3)^{2n} = 3^{6n} \) Quindi l'espressione diventa: \[ 3^4 x^{4n^{2}} + \frac{9}{4} + 3^{6n} \] **Passo 2: Osservazione delle potenze** Notiamo che \( x^{4n^{2}} = (x^{n})^{4n} \), ma senza ulteriori informazioni su \( n \) o possibili relazioni tra i termini, non è possibile fattorizzare ulteriormente l'espressione in una forma più semplice. **Conclusione:** L'espressione semplificata rimane: \[ 81x^{4n^{2}} + \frac{9}{4} + 27^{2n} \] ### 2. Espressione: \( 6{,}25 + y^{12n} + 5y^{6n} \) **Passo 1: Convertire 6,25 in frazione** - \( 6{,}25 = \frac{25}{4} = \left( \frac{5}{2} \right)^2 \) **Passo 2: Riconoscere una forma quadratica** L'espressione può essere vista come una quadratica in termini di \( y^{6n} \): \[ y^{12n} + 5y^{6n} + 6{,}25 = \left( y^{6n} \right)^2 + 5y^{6n} + \left( \frac{5}{2} \right)^2 \] **Passo 3: Tentare la fattorizzazione** Cerchiamo due numeri che moltiplicati diano \( \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4} \) e sommati diano \( 5 \). Notiamo che: \[ \frac{5}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{25}{4} \] \[ \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5 \] Quindi, l'espressione può essere scritta come un quadrato perfetto: \[ \left( y^{6n} + \frac{5}{2} \right)^2 \] **Conclusione:** L'espressione fattorizzata è: \[ 6{,}25 + y^{12n} + 5y^{6n} = \left( y^{6n} + \frac{5}{2} \right)^2 \] ### Riassunto - **Prima espressione:** Non è possibile fattorizzare ulteriormente senza ulteriori informazioni. - **Seconda espressione:** Si fattorizza come un quadrato perfetto: \[ \left( y^{6n} + \frac{5}{2} \right)^2 \] Spero che queste spiegazioni siano utili!