Ejercicio 16: Un nuevo procedimiento médico se aplica sobre tumores cancerosos en bovinos. Si el volumen de un tumor es de $$ 30 \mathrm{~cm}^{3} $$ y $$ t $$ dias después se encuentra que el volumen está cambiando a tasa $$ V^{\prime}(t)=0,15-0,09 e^{0,006 t} \mathrm{~cm}^{3} / \text { dia. } $$ a) Encuentre una fórmula para el volumen del tumor después de $$ t $$ dias. b) ¿Cuál es el volumen después de 60 dias? \&Después de 120 dias? c) Para que el procedimiento sea exitoso, cl tumor no debe tardar más de 90 dias en comenzar a reducirse. Con base en este criterio, ¿tiene éxito el procedimiento?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el ejercicio, vamos a seguir los pasos solicitados.

### a) Encuentre una fórmula para el volumen del tumor después de $$ t $$ días.

Dado que tenemos la tasa de cambio del volumen del tumor $$ V'(t) $$, podemos encontrar el volumen $$ V(t) $$ integrando $$ V'(t) $$.

La tasa de cambio es:
$$
V'(t) = 0,15 - 0,09 e^{0,006 t}
$$

Ahora, integramos $$ V'(t) $$:
$$
V(t) = \int (0,15 - 0,09 e^{0,006 t}) \, dt
$$

Realizando la integración:
1. La integral de $$ 0,15 $$ es $$ 0,15t $$.
2. La integral de $$ -0,09 e^{0,006 t} $$ es $$ -0,09 \cdot \frac{1}{0,006} e^{0,006 t} = -15 e^{0,006 t} $$.

Por lo tanto, la integral completa es:
$$
V(t) = 0,15t - 15 e^{0,006 t} + C
$$

Donde $$ C $$ es la constante de integración. Para determinar $$ C $$, utilizamos la condición inicial. Sabemos que al tiempo $$ t = 0 $$, el volumen del tumor es $$ V(0) = 30 \, \text{cm}^3 $$:
$$
V(0) = 0,15(0) - 15 e^{0} + C = 30
$$
$$
-15 + C = 30 \implies C = 45
$$

Por lo tanto, la fórmula para el volumen del tumor después de $$ t $$ días es:
$$
V(t) = 0,15t - 15 e^{0,006 t} + 45
$$

### b) ¿Cuál es el volumen después de 60 días? ¿Después de 120 días?

Ahora, sustituimos $$ t = 60 $$ y $$ t = 120 $$ en la fórmula que encontramos.

**Para $$ t = 60 $$:**
$$
V(60) = 0,15(60) - 15 e^{0,006 \cdot 60} + 45
$$
Calculamos:
$$
V(60) = 9 - 15 e^{0,36} + 45
$$
Calculamos $$ e^{0,36} $$:
$$
e^{0,36} \approx 1,4333 \quad (\text{aproximado})
$$
Entonces:
$$
V(60) = 9 - 15(1,4333) + 45
$$
$$
V(60) = 9 - 21,5 + 45 = 32,5 \, \text{cm}^3
$$

**Para $$ t = 120 $$:**
$$
V(120) = 0,15(120) - 15 e^{0,006 \cdot 120} + 45
$$
Calculamos:
$$
V(120) = 18 - 15 e^{0,72} + 45
$$
Calculamos $$ e^{0,72} $$:
$$
e^{0,72} \approx 2,0581 \quad (\text{aproximado})
$$
Entonces:
$$
V(120) = 18 - 15(2,0581) + 45
$$
$$
V(120) = 18 - 30,8715 + 45 = 32,1285 \, \text{cm}^3
$$

### c) Para que el procedimiento sea exitoso, el tumor no debe tardar más de 90 días en comenzar a reducirse. Con base en este criterio, ¿tiene éxito el procedimiento?

Para determinar si el volumen comienza a reducirse antes de 90 días, necesitamos encontrar el tiempo $$ t $$ en el que $$ V'(t) < 0 $$.

Igualamos $$ V'(t) $$ a cero para encontrar el punto en el que el volumen deja de aumentar:
$$
0,15 - 0,09 e^{0,006 t} = 0
$$
$$
0,09 e^{0,006 t} = 0,15
$$
$$
e^{0,006 t} = \frac{0,15}{0,09} = \frac{5}{3}
$$
Tomamos el logaritmo natural:
$$
0,006 t = \ln\left(\frac{5}{3}\right)
$$
$$
t = \frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{0,006}
$$

Calculamos $$ \ln\left(\frac{5}{3}\right) $$:
$$
\ln\left(\frac{5}{3}\right) \approx 0,5108
$$
Entonces:
$$
t \approx \frac{0,5108}{0,006} \approx 85,1333 \, \text{días}
$$

Dado que $$ 85,1333 < 90 $$, el procedimiento tiene éxito, ya que el tumor comienza a reducirse antes de 90 días.
a) La fórmula para el volumen del tumor después de $$ t $$ días es $$ V(t) = 0,15t - 15 e^{0,006 t} + 45 $$. b) Después de 60 días, el volumen es 32,5 cm³; después de 120 días, el volumen es 32,1285 cm³. c) El procedimiento tiene éxito, ya que el tumor comienza a reducirse antes de 90 días.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Calculus Questions