Krawędź podstawy graniastoslupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4. Dlužsza przekątna w tym graniastoslupie tworzy z podstawą kąt o mierze \( 45^{\circ} \). Dokończ zdania. Wybierz wlaściwą odpowiedź spośród A-D oraz spośród E-H. 1. Objętość tego graniastosłupa jest równa: A. \( 64 \sqrt{3} \) B. \( 96 \sqrt{3} \) C. \( 192 \sqrt{3} \) D. \( 192 \sqrt{6} \) 2. Tangens kąta między krótszą przekątną tego graniastoslupa a jego podstawą jest równy: E. 1 F. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) G. \( \frac{2 \sqrt{3}}{3} \) H. \( \frac{2 \sqrt{7}}{7} \)

Aby obliczyć objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, musimy wykorzystać wzór na objętość \( V = P \cdot h \), gdzie \( P \) to pole podstawy, a \( h \) to wysokość. Pole podstawy sześciokąta wynosi \( P = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 \), gdzie \( a \) to długość krawędzi. W naszym przypadku \( a = 4 \), więc pole wynosi \( 24 \sqrt{3} \). Wysokość można obliczyć z kąta \( 45^{\circ} \) i dłuższej przekątnej. Ostateczna objętość wynosi \( 192 \sqrt{3} \). Tangens kąta między krótszą przekątną a podstawą graniastosłupa możemy obliczyć na podstawie jego wysokości oraz długości podstawy. Ponieważ wysokość graniastosłupa jest proporcjonalna do długości długiej przekątnej i tworzy kąt \( 45^{\circ} \) z podstawą, co prowadzi nas do wartości 1, ponieważ \( \tan(45^{\circ}) = 1 \).