Encontre o volume do corpo gerado pela revolução da curva definida por \( y = \sqrt{x} \) entre \( x = 1 \) e \( x = 4 \) em torno do eixo y utilizando o método do washer.

Para encontrar o volume do corpo gerado pela revolução da curva definida por \( y = \sqrt{x} \) entre \( x = 1 \) e \( x = 4 \) em torno do eixo \( y \) utilizando o método do washer, seguimos os seguintes passos: 1. **Identificar a função e os limites**: A função dada é \( y = \sqrt{x} \). Os limites de integração são \( x = 1 \) e \( x = 4 \). 2. **Expressar \( x \) em termos de \( y \)**: Para aplicar o método do washer, precisamos expressar \( x \) em função de \( y \). A função \( y = \sqrt{x} \) pode ser rearranjada para \( x = y^2 \). 3. **Determinar os limites de \( y \)**: Quando \( x = 1 \), \( y = \sqrt{1} = 1 \). Quando \( x = 4 \), \( y = \sqrt{4} = 2 \). Portanto, os limites de \( y \) são de \( 1 \) a \( 2 \). 4. **Volume usando o método do washer**: O volume \( V \) gerado pela revolução em torno do eixo \( y \) é dado pela fórmula: \[ V = \pi \int_{a}^{b} (R^2 - r^2) \, dy \] onde \( R \) é o raio externo e \( r \) é o raio interno. Neste caso, não há um raio interno, então \( r = 0 \) e \( R = y^2 \). 5. **Substituir os valores na fórmula**: \[ V = \pi \int_{1}^{2} (y^2)^2 \, dy = \pi \int_{1}^{2} y^4 \, dy \] 6. **Calcular a integral**: \[ V = \pi \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{1}^{2} \] Agora, vamos calcular essa integral. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{1}^{2} y^{4} dy\) - step1: Evaluate the integral: \(\int y^{4} dy\) - step2: Evaluate the integral: \(\frac{y^{4+1}}{4+1}\) - step3: Add the numbers: \(\frac{y^{5}}{4+1}\) - step4: Add the numbers: \(\frac{y^{5}}{5}\) - step5: Return the limits: \(\left(\frac{y^{5}}{5}\right)\bigg |_{1}^{2}\) - step6: Calculate the value: \(\frac{31}{5}\) Calculate or simplify the expression \( \pi \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{1}^{2} \). Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(\pi \left(\frac{y^{5}}{5}\right)^{2}\) - step1: Evaluate the power: \(\pi \times \frac{y^{10}}{25}\) - step2: Multiply the terms: \(\frac{\pi y^{10}}{25}\) Calculate or simplify the expression \( \frac{\pi}{5} \left( 2^5 - 1^5 \right) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{\pi }{5}\left(2^{5}-1^{5}\right)\) - step1: Evaluate the power: \(\frac{\pi }{5}\left(2^{5}-1\right)\) - step2: Subtract the numbers: \(\frac{\pi }{5}\times 31\) - step3: Multiply: \(\frac{\pi \times 31}{5}\) - step4: Multiply: \(\frac{31\pi }{5}\) Agora que temos todos os passos, vamos calcular o volume: 1. **Cálculo da integral**: \[ \int_{1}^{2} y^4 \, dy = \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} \] 2. **Substituindo na fórmula do volume**: \[ V = \pi \cdot \frac{31}{5} = \frac{31\pi}{5} \] Portanto, o volume do corpo gerado pela revolução da curva \( y = \sqrt{x} \) entre \( x = 1 \) e \( x = 4 \) em torno do eixo \( y \) é: \[ V = \frac{31\pi}{5} \]