Encontre o volume do corpo gerado pela revolução da curva definida por $$ y = \sqrt{x} $$ entre $$ x = 1 $$ e $$ x = 4 $$ em torno do eixo y utilizando o método do washer.

Question

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Para encontrar o volume do corpo gerado pela revolução da curva definida por $$ y = \sqrt{x} $$ entre $$ x = 1 $$ e $$ x = 4 $$ em torno do eixo $$ y $$ utilizando o método do washer, seguimos os seguintes passos:

1. **Identificar a função e os limites**: A função dada é $$ y = \sqrt{x} $$. Os limites de integração são $$ x = 1 $$ e $$ x = 4 $$.

2. **Expressar $$ x $$ em termos de $$ y $$**: Para aplicar o método do washer, precisamos expressar $$ x $$ em função de $$ y $$. A função $$ y = \sqrt{x} $$ pode ser rearranjada para $$ x = y^2 $$.

3. **Determinar os limites de $$ y $$**: Quando $$ x = 1 $$, $$ y = \sqrt{1} = 1 $$. Quando $$ x = 4 $$, $$ y = \sqrt{4} = 2 $$. Portanto, os limites de $$ y $$ são de $$ 1 $$ a $$ 2 $$.

4. **Volume usando o método do washer**: O volume $$ V $$ gerado pela revolução em torno do eixo $$ y $$ é dado pela fórmula:
   $$
   V = \pi \int_{a}^{b} (R^2 - r^2) \, dy
   $$
   onde $$ R $$ é o raio externo e $$ r $$ é o raio interno. Neste caso, não há um raio interno, então $$ r = 0 $$ e $$ R = y^2 $$.

5. **Substituir os valores na fórmula**:
   $$
   V = \pi \int_{1}^{2} (y^2)^2 \, dy = \pi \int_{1}^{2} y^4 \, dy
   $$

6. **Calcular a integral**:
   $$
   V = \pi \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{1}^{2}
   $$

Agora, vamos calcular essa integral.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int_{1}^{2} y^{4} dy$$
- step1: Evaluate the integral:
  $$\int y^{4} dy$$
- step2: Evaluate the integral:
  $$\frac{y^{4+1}}{4+1}$$
- step3: Add the numbers:
  $$\frac{y^{5}}{4+1}$$
- step4: Add the numbers:
  $$\frac{y^{5}}{5}$$
- step5: Return the limits:
  $$\left(\frac{y^{5}}{5}\right)\bigg |_{1}^{2}$$
- step6: Calculate the value:
  $$\frac{31}{5}$$
Calculate or simplify the expression $$ \pi \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{1}^{2} $$.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$\pi \left(\frac{y^{5}}{5}\right)^{2}$$
- step1: Evaluate the power:
  $$\pi \times \frac{y^{10}}{25}$$
- step2: Multiply the terms:
  $$\frac{\pi y^{10}}{25}$$
Calculate or simplify the expression $$ \frac{\pi}{5} \left( 2^5 - 1^5 \right) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{\pi }{5}\left(2^{5}-1^{5}\right)$$
- step1: Evaluate the power:
  $$\frac{\pi }{5}\left(2^{5}-1\right)$$
- step2: Subtract the numbers:
  $$\frac{\pi }{5}\times 31$$
- step3: Multiply:
  $$\frac{\pi \times 31}{5}$$
- step4: Multiply:
  $$\frac{31\pi }{5}$$
Agora que temos todos os passos, vamos calcular o volume:

1. **Cálculo da integral**:
   $$
   \int_{1}^{2} y^4 \, dy = \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5}
   $$

2. **Substituindo na fórmula do volume**:
   $$
   V = \pi \cdot \frac{31}{5} = \frac{31\pi}{5}
   $$

Portanto, o volume do corpo gerado pela revolução da curva $$ y = \sqrt{x} $$ entre $$ x = 1 $$ e $$ x = 4 $$ em torno do eixo $$ y $$ é:
$$
V = \frac{31\pi}{5}
$$
O volume do corpo gerado pela revolução da curva $$ y = \sqrt{x} $$ entre $$ x = 1 $$ e $$ x = 4 $$ em torno do eixo $$ y $$ é $$ \frac{31\pi}{5} $$.

Encontre o volume do corpo gerado pela revolução da curva definida por entre e em torno do eixo y utilizando o método do washer.

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