Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -12 \\ -4\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}5 \\ -5 \\ -4\end{array}\right) \) mit der Ebene \( \mathrm{E}: \) \( 7 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=-28 \). \( \mathrm{D}(\square|\square| \square) \)

Um den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g} \) mit der Ebene \( \mathrm{E} \) zu berechnen, setzen wir zunächst die Parametergleichung der Geraden in die Ebenengleichung ein. Die Geradengleichung lautet: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix}-1 \\ -12 \\ -4\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5 \\ -5 \\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 + 5t \\ -12 - 5t \\ -4 - 4t\end{pmatrix} \] Setzen wir dies in die Ebenengleichung \( 7x_1 - 2x_2 + x_3 = -28 \) ein: \[ 7(-1 + 5t) - 2(-12 - 5t) + (-4 - 4t) = -28 \] Dies vereinfacht sich zu: \[ 7(-1) + 35t + 24 + 10t - 4 - 4t = -28 \] \[ -7 + 35t + 24 - 4 - 4t = -28 \] \[ 31t + 13 = -28 \] \[ 31t = -28 - 13 = -41 \] \[ t = -\frac{41}{31} \] Nun können wir den Wert von \( t \) zurück in die Geradengleichung einsetzen, um den Durchstoßpunkt zu finden: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix}-1 + 5\left(-\frac{41}{31}\right) \\ -12 - 5\left(-\frac{41}{31}\right) \\ -4 - 4\left(-\frac{41}{31}\right)\end{pmatrix} \] Diese Berechnung ergibt: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix}-1 - \frac{205}{31} \\ -12 + \frac{205}{31} \\ -4 + \frac{164}{31}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{31}{31} - \frac{205}{31} \\ -\frac{372}{31} + \frac{205}{31} \\ -\frac{124}{31} + \frac{164}{31}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{236}{31} \\ -\frac{167}{31} \\ \frac{40}{31}\end{pmatrix} \] Der Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g} \) mit der Ebene \( \mathrm{E} \) ist somit: \[ \left(-\frac{236}{31}, -\frac{167}{31}, \frac{40}{31}\right) \]