Question
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81-82 - Nos dan una familia de funciones. (a) Trace gráficas de la
familia para y 4 . (b) ¿Cómo están relacionadas las gráfi-
cas de la parte (a)?
81.

Ask by Graham Hardy. in Mexico
Nov 14,2024

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Answer

Para trazar las gráficas de con , observa que cada gráfica es una curva logarítmica que se desplaza hacia la izquierda en un factor de en comparación con .

Solution

Para resolver este problema, primero necesitamos entender la función dada y luego proceder a trazar las gráficas para los valores dados de .
La función dada es , donde es un número real. Esta función es una función logarítmica con base 10, donde el argumento de la función es .
Para trazar las gráficas de la familia de funciones para y 4, podemos seguir estos pasos:
  1. Para :
    • La función se convierte en .
    • La gráfica de esta función es una curva logarítmica que pasa por el punto (1, 0) y se extiende hacia el infinito en el primer cuadrante.
  2. Para :
    • La función se convierte en .
    • La gráfica de esta función es similar a la de , pero se ha desplazado hacia la izquierda en un factor de 2.
  3. Para :
    • La función se convierte en .
    • La gráfica de esta función es similar a la de , pero se ha desplazado hacia la izquierda en un factor de 3.
  4. Para :
    • La función se convierte en .
    • La gráfica de esta función es similar a la de , pero se ha desplazado hacia la izquierda en un factor de 4.
Ahora, para determinar cómo están relacionadas las gráficas de la parte (a), podemos observar que todas las gráficas son curvas logarítmicas que se extienden hacia el infinito en el primer cuadrante. Sin embargo, las gráficas se desplazan hacia la izquierda en un factor de en comparación con la función base .
Por lo tanto, las gráficas de la parte (a) están relacionadas en el sentido de que todas son curvas logarítmicas que se extienden hacia el infinito en el primer cuadrante, pero se desplazan hacia la izquierda en un factor de en comparación con la función base .

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Bonus Knowledge

¡Vamos a divertirnos un poco con logaritmos! Al trazar las gráficas de para y , notarás que todas pasan por el origen de coordenadas (donde y ). Sin embargo, al aumentar el valor de , las gráficas se desplazan hacia la izquierda. Esto se debe a que un valor mayor de hace que el crecimiento de la función se “acelere”, lo que lleva a una mayor pendiente inicialmente, pero todavía se comportan de manera similar.
Ahora, hablemos de las relaciones entre las gráficas. La relación clave aquí es el “factor de escala”. Aunque todas las gráficas son desplazadas horizontalmente, siguen la misma forma general. Esto significa que cualquier cambio en se traduce en un cambio diario en cómo visualizamos la función, pero la esencia logarítmica sigue intacta. Así que, mientras disfrutas dibujando, ten en mente cómo el “c” aventura la posición de la gráfica sin alterar su forma básica. ¡Es como un juego de esconder y buscar!

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