or the function $$ f(x)=\left(\frac{x}{5} ight)^{\frac{1}{6}} $$, find $$ f^{-1}(x) $$ Answer $$ \begin{array}{ll}f^{-1}(x)=5 x^{5} & f^{-1}(x)=(5 x)^{5} \ f^{-1}(x)=\frac{x^{5}}{5} & f^{-1}(x)=5 x^{\frac{1}{5}}\end{array} $$

Question

or the function $$ f(x)=\left(\frac{x}{5}ight)^{\frac{1}{6}} $$, find $$ f^{-1}(x) $$ Answer $$ \begin{array}{ll}f^{-1}(x)=5 x^{5} & f^{-1}(x)=(5 x)^{5} \ f^{-1}(x)=\frac{x^{5}}{5} & f^{-1}(x)=5 x^{\frac{1}{5}}\end{array} $$

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Para encontrar la función inversa $$ f^{-1}(x) $$ de la función $$ f(x) = \left(\frac{x}{5}\right)^{\frac{1}{6}} $$, seguimos estos pasos:

1. **Escribir la función original**:
   $$
   y = \left(\frac{x}{5}\right)^{\frac{1}{6}}
   $$

2. **Intercambiar $$ x $$ y $$ y $$**:
   $$
   x = \left(\frac{y}{5}\right)^{\frac{1}{6}}
   $$

3. **Despejar $$ y $$**:
   - Primero, elevamos ambos lados a la potencia de 6 para eliminar la raíz:
   $$
   x^6 = \frac{y}{5}
   $$
   - Luego, multiplicamos ambos lados por 5:
   $$
   y = 5x^6
   $$

4. **Escribir la función inversa**:
   $$
   f^{-1}(x) = 5x^6
   $$

Por lo tanto, la función inversa es:
$$
f^{-1}(x) = 5x^6
$$

Ahora, revisando las opciones que proporcionaste:
- $$ f^{-1}(x) = 5x^5 $$
- $$ f^{-1}(x) = (5x)^5 $$
- $$ f^{-1}(x) = \frac{x^5}{5} $$
- $$ f^{-1}(x) = 5x^{\frac{1}{5}} $$

Ninguna de estas opciones es correcta. La respuesta correcta es:
$$
f^{-1}(x) = 5x^6
$$
La función inversa $$ f^{-1}(x) $$ de $$ f(x) = \left(\frac{x}{5}\right)^{\frac{1}{6}} $$ es $$ f^{-1}(x) = 5x^6 $$.

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