5) Si consideri un sistema lineare non omogeneo di 3 equazioni in 3 incognite. Si denotino con \( A \) e \( A^{\prime} \). rispettivamente, la sua matrice incompleta e la sua matrice completa. Allora: il sistema ammette sempre almeno una soluzione. il sistema ammette \( \infty^{1} \) soluzioni se \( r(A)=2 \). il sistema ammette \( \infty^{1} \) soluzioni se \( r\left(A^{\prime}\right)=2 \). il sistema può non ammettere soluzioni.

Un sistema lineare non omogeneo di 3 equazioni in 3 incognite può comportarsi in modi diversificati a seconda della sua matrice dei coefficienti e della matrice estesa. Se \( r(A) \) è inferiore a 3, potrebbe non esserci soluzione unica o addirittura nessuna soluzione, a meno che le equazioni siano consistenti. La struttura delle soluzioni di un sistema del genere dipende dalla relazione tra il rango della matrice dei coefficienti e quello della matrice estesa. Se, ad esempio, \( r(A) = r(A') = 2 \), il sistema ammette infinite soluzioni, dato che ci sono 3 incognite e soltanto 2 condizioni. L'importante è capire come le righe e le colonne delle matrici interagiscono!