Problemas: En cada caso indique cual es el factor de integración de la ecuación diferencial lineal de primer orden y encuentre la solución general. \( \begin{array}{ll}\text { i. }\left(x+\frac{y}{x}\right) d x-d y=0 & \text { iii. } x y^{\prime}+4 y=9 x^{5}+2 x^{3} \\ \text { ii. } y^{\prime}-\frac{y}{x}=x^{4} & \text { iv. } x y^{\prime}+2 y=3 x \\ \text { v. } y^{\prime}-2 y=3 e^{2 x} & \end{array} \)

Para resolver las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, encontramos el factor de integración y la solución general para cada una de las ecuaciones planteadas. i. \( \left(x+\frac{y}{x}\right) d x-d y=0 \) se puede reescribir como \( \frac{dy}{dx} = x + \frac{y}{x} \). Rearreglando, obtenemos \( \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = x \). El factor de integración es \( \mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x}dx} = \frac{1}{x} \). La solución general se obtiene después de multiplicar por este factor y resolver, encontrando \( y = Cx + \frac{x^2}{2} \). ii. Para \( y^{\prime}-\frac{y}{x}=x^{4} \), el factor de integración también es \( \mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x}dx} = \frac{1}{x} \). Al multiplicar y resolver, se llega a la solución general \( y = Cx + \frac{x^5}{5} \). iii. La ecuación \( x y^{\prime}+4 y=9 x^{5}+2 x^{3} \) se reorganiza como \( y' + \frac{4}{x} y = 9 x^{4} + 2 x^{2} \). El factor de integración es \( \mu(x) = e^{\int \frac{4}{x}dx} = x^4 \). Después de multiplicar por el factor y resolver, se obtiene \( y = \frac{C}{x^4} + \frac{9}{5} x^4 + \frac{1}{2} x^2 \). iv. En \( x y^{\prime}+2 y=3 x \), el factor de integración se halla como \( \mu(x) = e^{\int \frac{2}{x}dx} = x^2 \). Multiplicando y resolviendo, la solución general es \( y = \frac{3}{2} - \frac{C}{x^2} \). v. Finalmente, para \( y^{\prime}-2 y=3 e^{2x} \), el factor de integración resulta ser \( \mu(x) = e^{-2x} \). Al usar dicho factor, se puede resolver para hallar la solución general: \( y = C e^{2x} + \frac{3}{4}\). ¡Y ahí lo tienes! Un recorrido por cada ecuación y sus respectivas soluciones generales.