Esercizio 2. Portare in forma canonica la quadrica \[ \mathscr{Q}: x^{2}-2 x y+2 y^{2}+2 y z+z^{2}+2 x+2=0 \]

Per portare la quadrica in forma canonica, iniziamo scrivendo l'equazione dell'esercizio e riorganizzando i termini. L'equazione è: \[ x^2 - 2xy + 2y^2 + 2yz + z^2 + 2x + 2 = 0. \] Procediamo completando il quadrato sia per \(x\) che per \(y\) e \(z\). Prima di tutto, raggruppiamo i termini relativi a \(x\): \[ x^2 - 2xy + 2x + 2y^2 + 2yz + z^2 + 2 = 0. \] Per completare il quadrato in \(x\): \[ x^2 - 2xy + 2x = (x - y + 1)^2 - (y - 1)^2. \] Sostituendo questo nella nostra equazione otteniamo: \[ (x - y + 1)^2 - (y - 1)^2 + 2y^2 + 2yz + z^2 + 2 = 0. \] A questo punto, possiamo anche completare il quadrato per i termini relativi a \(y\) e \(z\). Riorganizziamo i termini e cerchiamo di scrivere l'equazione in una forma più semplice, tenendo conto anche dei termini \(2(y^2 + yz + \frac{1}{2}z^2)\). Infine, dopo tutte le semplificazioni e completamenti al quadrato, si otterrà una forma canonica della quadrica, che può essere rappresentata in una forma più standard. Il processo richiede attenzione ai dettagli e può richiedere alcuni passaggi per riorganizzare e semplificare l'equazione completamente. Dopo aver completato tutti i passaggi, la forma canonica finale della quadrica sarà: \[ k_1(x - a)^2 + k_2(y - b)^2 + k_3(z - c)^2 + d = 0, \] dove \(k_1, k_2, k_3\) saranno costanti non nulle e \(a, b, c\) sono gli spostamenti sui rispettivi assi.