Gegeben ist das lineare Gleichungssystem $$ \left\{\begin{array}{c} -2 \cdot x_{1}-2 \cdot x_{2}+2 \cdot x_{3}=5 \ -2 \cdot x_{1}-7 \cdot x_{2}+7 \cdot x_{3}=7 \ 4 \cdot x_{1}+9 \cdot x_{2}-9 \cdot x_{3}=a \end{array}\right. $$ mit der Konstante $$ a \in \mathbb{R} $$. Mit welchem Wert des Parameters $$ a \in \mathbb{R} $$ besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen? $$ a=-12 $$ Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: $$ -12 $$ Die Antwort ist nicht richtig. Geben Sie die Lösung an. Hinweis: Geben Sie die Lösung in der Form eines transponierten Vektors: $$ \vec{x}^{T}=\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}\right] $$ ein. $$ \vec{x}^{T}=\left[-(21 / 10),-(2 / 5)^{*} \mathrm{t}, \mathrm{t}\right] $$ Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: $$ \left[-\frac{21}{10},\left(-\frac{2}{5}\right) \cdot t, t\right] $$ In Ihrer Antwort wurden die folgenden Variablen gefunden: $$ [t] $$ Die Antwort ist nicht richtig.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Entschuldigung für die vorherigen Missverständnisse. Lassen Sie uns das Gleichungssystem sorgfältig analysieren und die korrekte Lösung finden.

Gegeben ist das Gleichungssystem:
$$
\left\{\begin{array}{c}
-2x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3} = 5 \
-2x_{1} - 7x_{2} + 7x_{3} = 7 \
4x_{1} + 9x_{2} - 9x_{3} = a
\end{array}\right.
$$

**Schritt 1: Eliminierung von $$ x_{1} $$**

Subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten:
$$
(-2x_{1} - 7x_{2} + 7x_{3}) - (-2x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3}) = 7 - 5
$$
$$
-5x_{2} + 5x_{3} = 2 \quad \text{(Gleichung 2')}
$$

Addieren wir das Doppelte der ersten Gleichung zur dritten:
$$
2(-2x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3}) + (4x_{1} + 9x_{2} - 9x_{3}) = 2 \cdot 5 + a
$$
$$
-4x_{1} - 4x_{2} + 4x_{3} + 4x_{1} + 9x_{2} - 9x_{3} = 10 + a
$$
$$
5x_{2} - 5x_{3} = 10 + a \quad \text{(Gleichung 3')}
$$

**Schritt 2: Konsistenzbedingung**

Addieren wir Gleichung 2' und 3':
$$
-5x_{2} + 5x_{3} + 5x_{2} - 5x_{3} = 2 + 10 + a
$$
$$
0 = 12 + a
$$
$$
a = -12
$$

Damit das System konsistent ist und unendlich viele Lösungen besitzt, muss $$ a = -12 $$ sein.

**Schritt 3: Parametrisierung der Lösungen**

Setzen wir $$ a = -12 $$ in Gleichung 3' ein:
$$
5x_{2} - 5x_{3} = 10 - 12
$$
$$
5x_{2} - 5x_{3} = -2
$$
$$
x_{2} - x_{3} = -\frac{2}{5}
$$
$$
x_{2} = x_{3} - \frac{2}{5}
$$

Setzen wir $$ x_{3} = t $$ (freie Variable), dann:
$$
x_{2} = t - \frac{2}{5}
$$

Nun setzen wir $$ x_{2} $$ und $$ x_{3} $$ in die erste Gleichung ein, um $$ x_{1} $$ zu bestimmen:
$$
-2x_{1} - 2\left(t - \frac{2}{5}\right) + 2t = 5
$$
$$
-2x_{1} - 2t + \frac{4}{5} + 2t = 5
$$
$$
-2x_{1} + \frac{4}{5} = 5
$$
$$
-2x_{1} = \frac{21}{5}
$$
$$
x_{1} = -\frac{21}{10}
$$

**Endgültige Lösung:**

Die Lösungen des Gleichungssystems für $$ a = -12 $$ lassen sich parametrisieren durch die freie Variable $$ t $$. Die Lösung lässt sich in der geforderten Form als transponierter Vektor darstellen:

$$
\vec{x}^{T} = \left[ -\frac{21}{10},\; -\frac{2}{5} + t,\; t \right]
$$

Dabei ist $$ t \in \mathbb{R} $$ eine beliebige reelle Zahl.
Die Lösung des Gleichungssystems für $$ a = -12 $$ lautet: $$ \vec{x}^{T} = \left[ -\frac{21}{10},\; -\frac{2}{5} + t,\; t \right] $$ wobei $$ t $$ eine beliebige reelle Zahl ist.

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