1) Площа перерізу кулі площиною, віддаленою від і" центра на 12 cm , дорівнює $$ 25 \pi \mathrm{~cm}^{2} $$. Обчисліть радіус кулі. 2) Площина перетинає сферу. Діаметр сфери, проведений до однієї з точок лінії перетину, дорівнює $$ 4 \sqrt{2} $$ дм і утворює з площиною кут $$ 45^{\circ} $$. Обчисліть довжину лінії перетину. 3) На поверхні кулі радіуса 25 см розміщено три точки. Довжини прямолінійних відрізків, які сполучають ці точки, дорівнюють $$ 7 \mathrm{~cm}, 24 \mathrm{~cm} $$ і 25 cm . Через задані точки проведено площину. Обчисліть: a) радіус перерізу кулі заданою площиною; б) відстань від центра кулі до заданої площини. Варіант 2 1) Лінія перетину сфери і площини, віддаленої від центра сфери на 8 см, має довжину $$ 12 \pi $$ см. Обчисліть радіус сфери. 2) Площина перетинає кулю. Діаметр, проведений до однієї з точок перетину, утворюе з площиною кут $$ 45^{\circ} $$. Обчисліть площу перерізу, якщо діаметр кулі дорівнює $$ 4 \sqrt{3} \mathrm{~cm} $$. 3) На поверхні кулі радіуса 25 см розміщено три точки. Довжини прямолінійних відрізків, які сполучають ці точки, дорівнюють $$ 15 \mathrm{~cm}, 20 \mathrm{~cm} \mathrm{і} 25 \mathrm{~cm} $$. Через задані точки проведено площину. Обчисліть: a) радіус перерізу кулі заданою площиною; б) відстань від центра кулі до заданої площини.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте решим каждую из задач по порядку.

### Задача 1
**Условие:** Площадь сечения сферы плоскостью, удаленной от центра на 12 см, равна $$ 25 \pi \mathrm{~cm}^{2} $$. Найдите радиус сферы.

**Решение:**
Площадь сечения сферы плоскостью определяется формулой:
$$
S = \pi (R^2 - d^2)
$$
где $$ S $$ — площадь сечения, $$ R $$ — радиус сферы, $$ d $$ — расстояние от центра сферы до плоскости.

Подставим известные значения:
$$
25 \pi = \pi (R^2 - 12^2)
$$
Сократим $$ \pi $$:
$$
25 = R^2 - 144
$$
Теперь решим уравнение:
$$
R^2 = 25 + 144 = 169
$$
$$
R = \sqrt{169} = 13 \, \text{см}
$$

### Задача 2
**Условие:** Плоскость пересекает сферу. Диаметр сферы, проведенный к одной из точек линии пересечения, равен $$ 4 \sqrt{2} $$ дм и образует с плоскостью угол $$ 45^{\circ} $$. Найдите длину линии пересечения.

**Решение:**
Длина линии пересечения $$ L $$ может быть найдена по формуле:
$$
L = d \cdot \sin(\theta)
$$
где $$ d $$ — длина диаметра, $$ \theta $$ — угол между диаметром и плоскостью.

Сначала найдем радиус:
$$
R = \frac{d}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \, \text{дм}
$$

Теперь подставим в формулу:
$$
L = 4 \sqrt{2} \cdot \sin(45^{\circ}) = 4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \, \text{дм}
$$

### Задача 3
**Условие:** На поверхности сферы радиуса 25 см размещены три точки. Длины отрезков, соединяющих эти точки, равны $$ 7 \mathrm{~cm}, 24 \mathrm{~cm} $$ и $$ 25 \mathrm{~cm} $$. Найдите:
a) радиус сечения сферы заданной плоскостью;
b) расстояние от центра сферы до заданной плоскости.

**Решение:**
Для нахождения радиуса сечения используем формулу Герона для площади треугольника:
$$
s = \frac{a + b + c}{2}
$$
где $$ a = 7 $$, $$ b = 24 $$, $$ c = 25 $$.

Сначала найдем полупериметр:
$$
s = \frac{7 + 24 + 25}{2} = 28
$$

Теперь найдем площадь $$ S $$:
$$
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{28(28-7)(28-24)(28-25)} = \sqrt{28 \cdot 21 \cdot 4 \cdot 3}
$$
Теперь вычислим:
$$
S = \sqrt{28 \cdot 21 \cdot 12} = \sqrt{7056} = 84 \, \text{см}^2
$$

Радиус сечения $$ r $$ можно найти по формуле:
$$
S = \pi r^2 \implies r^2 = \frac{S}{\pi} \implies r = \sqrt{\frac{84}{\pi}}
$$

Теперь найдем расстояние от центра до плоскости. Используем формулу:
$$
d = \frac{2S}{P}
$$
где $$ P = a + b + c = 7 + 24 + 25 = 56 $$:
$$
d = \frac{2 \cdot 84}{56} = 3 \, \text{см}
$$

### Итоговые ответы:
1. Радиус сферы: $$ 13 \, \text{см} $$
2. Длина линии пересечения: $$ 4 \, \text{дм} $$
3. a) Радиус сечения: $$ \sqrt{\frac{84}{\pi}} \, \text{см} $$; b) Расстояние от центра до плоскости: $$ 3 \, \text{см} $$
1. Радиус сферы: 13 см 2. Длина линии пересечения: 4 дм 3. a) Радиус сечения: $$ \sqrt{\frac{84}{\pi}} $$ см; b) Расстояние от центра до плоскости: 3 см

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Geometry Questions