2. Решить систему уравнений по формулам Крамера или с помощью обратной матрицы: $$ \left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=2 \ 3 x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=6 \ 2 x_{1}-2 x_{2}-x_{3}=7\end{array} ight. $$

Question

2. Решить систему уравнений по формулам Крамера или с помощью обратной матрицы: $$ \left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=2 \ 3 x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=6 \ 2 x_{1}-2 x_{2}-x_{3}=7\end{array}ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Решим систему уравнений методом Крамера. Рассмотрим систему:

$$
\begin{cases}
x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2 \
3x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 6 \
2x_{1} - 2x_{2} - x_{3} = 7
\end{cases}
$$

**Шаг 1: Запишем матрицу коэффициентов $$ A $$ и вектор свободных членов $$ \mathbf{b} $$.**

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \
3 & 2 & 3 \
2 & -2 & -1
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
2 \
6 \
7
\end{pmatrix}
$$

**Шаг 2: Найдём определитель матрицы $$ A $$, обозначим его как $$ \Delta $$.**

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \
3 & 2 & 3 \
2 & -2 & -1
\end{vmatrix}
$$

Вычисляем определитель:

$$
\Delta = 1 \cdot (2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2)) - 2 \cdot (3 \cdot (-1) - 3 \cdot 2) + 1 \cdot (3 \cdot (-2) - 2 \cdot 2)
$$

$$
\Delta = 1 \cdot (-2 + 6) - 2 \cdot (-3 - 6) + 1 \cdot (-6 - 4) = 4 + 18 - 10 = 12
$$

**Шаг 3: Сформируем матрицы $$ A_1, A_2, A_3 $$, заменяя соответствующие столбцы матрицы $$ A $$ на вектор $$ \mathbf{b} $$.**

$$
A_1 = \begin{pmatrix}
2 & 2 & 1 \
6 & 2 & 3 \
7 & -2 & -1
\end{pmatrix}, \quad
A_2 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \
3 & 6 & 3 \
2 & 7 & -1
\end{pmatrix}, \quad
A_3 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \
3 & 2 & 6 \
2 & -2 & 7
\end{pmatrix}
$$

**Вычислим определители этих матриц.**

$$
\Delta_1 = \begin{vmatrix}
2 & 2 & 1 \
6 & 2 & 3 \
7 & -2 & -1
\end{vmatrix} = 2 \cdot (2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2)) - 2 \cdot (6 \cdot (-1) - 3 \cdot 7) + 1 \cdot (6 \cdot (-2) - 2 \cdot 7) = 2 \cdot 4 - 2 \cdot (-27) + (-26) = 8 + 54 - 26 = 36
$$

$$
\Delta_2 = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \
3 & 6 & 3 \
2 & 7 & -1
\end{vmatrix} = 1 \cdot (6 \cdot (-1) - 3 \cdot 7) - 2 \cdot (3 \cdot (-1) - 3 \cdot 2) + 1 \cdot (3 \cdot 7 - 6 \cdot 2) = 1 \cdot (-27) - 2 \cdot (-9) + 1 \cdot 9 = -27 + 18 + 9 = 0
$$

$$
\Delta_3 = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 2 \
3 & 2 & 6 \
2 & -2 & 7
\end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 7 - 6 \cdot (-2)) - 2 \cdot (3 \cdot 7 - 6 \cdot 2) + 2 \cdot (3 \cdot (-2) - 2 \cdot 2) = 1 \cdot 26 - 2 \cdot 9 + 2 \cdot (-10) = 26 - 18 - 20 = -12
$$

**Шаг 4: Найдём значения переменных по формуле Крамера:**

$$
x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{36}{12} = 3
$$

$$
x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{0}{12} = 0
$$

$$
x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-12}{12} = -1
$$

**Ответ:**

$$
x_{1} = 3, \quad x_{2} = 0, \quad x_{3} = -1
$$
Решение системы уравнений: $$ \begin{cases} x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2 \ 3x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 6 \ 2x_{1} - 2x_{2} - x_{3} = 7 \end{cases} $$ Используя метод Крамера: $$ x_{1} = 3, \quad x_{2} = 0, \quad x_{3} = -1 $$

Решить систему уравнений по формулам Крамера или с помощью обратной матрицы:

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Algebra Questions