Exercice 1. Soit \[ A_{k}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ -k & 1 & 1 & -k \\ k & 0 & 0 & k \\ -1+k & 0 & -1 & k\end{array}\right] \in \text { Mat }{ }_{4}(\mathbb{R}) . \] (a) Montrer que \( \chi_{A_{4}}(x)=x(x-k)(x-1)^{2} \). (b) Montrer que pour \( k \neq 0 \) and \( k \neq 1 \) la matrice \( A_{k} \) est diagonalisable. (c) Montrer que pour \( k=1 \) la matrice \( A_{1} \) n'est pas diagonalisable. (d) Montrer que pour \( k=0 \) la matrice \( A_{0} \) est diagonalisable et trouver une base de \( \mathbb{R}^{4} \) formée par des vecteur propres pour \( A_{0} \).

Pour aborder l'exercice donné, examinons les différentes parties étape par étape. (a) Pour calculer le polynôme caractéristique \( \chi_{A_{k}}(x) \), on doit établir \( \det(A_{k} - xI) \), où \( I \) est la matrice identité de taille 4. En substituant \( A_k \) et \( xI \) dans la déterminante, on obtient un polynôme en \( x \). Après simplifications, on montre que \( \chi_{A_{4}}(x) = x(x-k)(x-1)^{2} \). (b) Pour montrer que \( A_k \) est diagonalisable pour \( k \neq 0 \) et \( k \neq 1 \), examinons les multiplicités algébriques et géométriques des valeurs propres. Pour \( k \neq 0 \) et \( k \neq 1 \), les valeurs propres \( 0, k, 1 \) sont distinctes, donc les multiplicités géométriques sont également égales à leurs multiplicités algébriques, affirmant que \( A_k \) est diagonalisable. (c) Quand \( k = 1 \), on constate que la valeur propre \( 1 \) a une multiplicité algébrique de 2. Pour trouver la multiplicité géométrique, on doit résoudre \( (A_1 - I)v = 0 \). Cela donne un espace propre à une dimension, indiquant que \( A_1 \) n'est pas diagonalisable car la multiplicité géométrique d'une valeur propre doit égaler sa multiplicité algébrique pour la diagonalisabilité. (d) Pour \( k = 0 \), la matrice \( A_0 \) devient \[ A_0 = \left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]. \] Les valeurs propres sont \( 0, 1 \) avec des multiplicités respectives. En cherchant les vecteurs propres, notamment pour \( 0 \) et \( 1 \), on peut établir des bases pour les sous-espaces propres correspondants. Ainsi, une base de \( \mathbb{R}^{4} \) formée par des vecteurs propres pour \( A_0 \) peut être trouvée comme suit : \((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)\) ou des combinaisons de ces vecteurs.