$$ \left. \begin{array} { l } { 10 } \end{array} ight. \left. \begin{array} { l } { \frac { 5 ^ { x } - 1 } { 2 ^ { x } } \geq 0 } \ \hline 11 \end{array} ight. \frac { 5 ^ { x } - 25 } { 3 ^ { x } + 9 }

Question

$$ \left. \begin{array} { l } { 10 } \end{array} ight. \left. \begin{array} { l } { \frac { 5 ^ { x } - 1 } { 2 ^ { x } } \geq 0 } \ \hline 11 \end{array} ight. \frac { 5 ^ { x } - 25 } { 3 ^ { x } + 9 } < 0 $$

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Risolveremo il seguente sistema di disequazioni:

$$
\begin{cases}
\frac{5^{x} - 1}{2^{x}} \geq 0 \
\frac{5^{x} - 25}{3^{x} + 9} < 0
\end{cases}
$$

### **Prima Disequazione:**
$$
\frac{5^{x} - 1}{2^{x}} \geq 0
$$

**Analisi del numeratore e del denominatore:**
- **Numeratore:** $$5^{x} - 1$$
- **Denominatore:** $$2^{x}$$

Poiché $$2^{x} > 0$$ per ogni valore di $$x$$, il segno della frazione dipende esclusivamente dal numeratore.

**Risolvendo il numeratore:**
$$
5^{x} - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 5^{x} \geq 1
$$
Poiché $$5^{0} = 1$$, otteniamo:
$$
x \geq 0
$$

### **Seconda Disequazione:**
$$
\frac{5^{x} - 25}{3^{x} + 9} < 0
$$

**Analisi del numeratore e del denominatore:**
- **Numeratore:** $$5^{x} - 25$$
- **Denominatore:** $$3^{x} + 9$$

Il denominatore $$3^{x} + 9$$ è sempre positivo per ogni valore di $$x$$, quindi il segno della frazione dipende esclusivamente dal numeratore.

**Risolvendo il numeratore:**
$$
5^{x} - 25 < 0 \quad \Rightarrow \quad 5^{x} < 25
$$
Poiché $$5^{2} = 25$$, otteniamo:
$$
x < 2
$$

### **Intervallo di Soluzione:**

Dalla prima disequazione abbiamo $$x \geq 0$$ e dalla seconda $$x < 2$$.

L'intervallo che soddisfa entrambe le condizioni è:
$$
0 \leq x < 2
$$

### **Soluzione Finale:**

La soluzione del sistema di disequazioni è l'insieme dei numeri reali $$x$$ tali che:
$$
x \in [0, 2)
$$

In altre parole, $$x$$ deve essere maggiore o uguale a 0 e minore di 2.
La soluzione delle disequazioni è $$ x $$ compreso tra 0 e 2, inclusi 0 ma escluso 2.

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