1. Bila $$ \mathrm{K}=\{0,2,4\} $$ yang merupakan suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam $$ Z_{8} $$. Tunjukan $$ Z_{8} / \mathrm{K} $$ adalah merupakan Ring Faktor.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Untuk menunjukkan bahwa $$ \mathbb{Z}_8 / \mathrm{K} $$ adalah sebuah Ring Faktor, kita perlu memverifikasi beberapa hal dasar mengenai himpunan $$ \mathrm{K} = \{0, 2, 4\} $$ dan struktur ring $$ \mathbb{Z}_8 $$. Berikut adalah langkah-langkahnya:

### 1. Verifikasi bahwa $$ \mathrm{K} $$ adalah Ideal dalam $$ \mathbb{Z}_8 $$

**Definisi Ideal:**
Sebuah himpunan $$ \mathrm{K} $$ dalam ring $$ R $$ dikatakan sebagai ideal jika:
- $$ \mathrm{K} $$ adalah subring dari $$ R $$.
- Untuk setiap $$ r \in R $$ dan $$ k \in \mathrm{K} $$, maka $$ r \cdot k \in \mathrm{K} $$ dan $$ k \cdot r \in \mathrm{K} $$.

**Subring:**
Pertama, kita periksa apakah $$ \mathrm{K} $$ adalah subring dari $$ \mathbb{Z}_8 $$:
- **Tertutup terhadap Penjumlahan:**
  $$
  \begin{align*}
  0 + 0 &\equiv 0 \mod 8 \in \mathrm{K} \
  0 + 2 &\equiv 2 \mod 8 \in \mathrm{K} \
  0 + 4 &\equiv 4 \mod 8 \in \mathrm{K} \
  2 + 2 &\equiv 4 \mod 8 \in \mathrm{K} \
  2 + 4 &\equiv 6 \mod 8 \notin \mathrm{K} \
  4 + 4 &\equiv 0 \mod 8 \in \mathrm{K}
  \end{align*}
  $$
  Terdapat $$ 2 + 4 = 6 \notin \mathrm{K} $$, sehingga $$ \mathrm{K} $$ **tidak** tertutup terhadap penjumlahan. Namun, ini bertentangan dengan pernyataan awal bahwa $$ \mathrm{K} $$ adalah ideal.

**Koreksi:**
Secara umum, ideal yang dihasilkan oleh 2 dalam $$ \mathbb{Z}_8 $$ adalah $$ \mathrm{K} = \{0, 2, 4, 6\} $$. Jika $$ \mathrm{K} = \{0, 2, 4\} $$, maka $$ \mathrm{K} $$ **tidak** memenuhi syarat sebagai ideal karena tidak tertutup terhadap penjumlahan $$ 2 + 4 = 6 \notin \mathrm{K} $$.

**Asumsi:**
Mungkin terdapat kesalahan penulisan, dan ideal yang dimaksud adalah $$ \mathrm{K} = \{0, 2, 4, 6\} $$. Dengan demikian, kita lanjutkan dengan $$ \mathrm{K} = \{0, 2, 4, 6\} $$.

- **Tertutup terhadap Penjumlahan:**
  $$
  \forall a, b \in \mathrm{K}, \ a + b \mod 8 \in \mathrm{K}
  $$
  Misalnya, $$ 2 + 4 = 6 $$, $$ 4 + 4 = 0 $$, dll., semua hasilnya ada di $$ \mathrm{K} $$.

- **Tertutup terhadap Perkalian dengan Elemen $$ \mathbb{Z}_8 $$:**
  $$
  \forall r \in \mathbb{Z}_8, \ \forall k \in \mathrm{K}, \ r \cdot k \mod 8 \in \mathrm{K}
  $$
  Misalnya, $$ 3 \cdot 2 = 6 \in \mathrm{K} $$, $$ 5 \cdot 4 = 20 \equiv 4 \mod 8 \in \mathrm{K} $$, dll.

Dengan demikian, $$ \mathrm{K} = \{0, 2, 4, 6\} $$ adalah ideal dalam $$ \mathbb{Z}_8 $$.

### 2. Pembentukan Ring Faktor $$ \mathbb{Z}_8 / \mathrm{K} $$

**Kelas Sisa:**
Dalam ring faktor, elemen-elemen dari $$ \mathbb{Z}_8 / \mathrm{K} $$ adalah himpunan kelas sisa dari $$ \mathrm{K} $$ dalam $$ \mathbb{Z}_8 $$. Karena $$ \mathbb{Z}_8 $$ memiliki 8 elemen dan $$ \mathrm{K} $$ memiliki 4 elemen, terdapat $$ 8 / 4 = 2 $$ kelas sisa.

- **Kelas Sisa 0:**
  $$
  [0] = \{0, 2, 4, 6\}
  $$
  
- **Kelas Sisa 1:**
  $$
  [1] = \{1, 3, 5, 7\}
  $$

**Operasi pada $$ \mathbb{Z}_8 / \mathrm{K} $$:**
- **Penjumlahan:**
  $$
  [a] + [b] = [a + b]
  $$
  
- **Perkalian:**
  $$
  [a] \cdot [b] = [a \cdot b]
  $$

**Tabel Operasi:**

| $$ + $$ | [0]          | [1]          |
|---------|--------------|--------------|
| [0]     | [0]          | [1]          |
| [1]     | [1]          | [0]          |

| $$ \cdot $$ | [0]          | [1]          |
|-------------|--------------|--------------|
| [0]         | [0]          | [0]          |
| [1]         | [0]          | [1]          |

**Verifikasi Axioma Ring:**
- **Asosiatifitas dan Komutatifitas Penjumlahan:**
  Terpenuhi karena inheren dari $$ \mathbb{Z}_8 $$.

- **Elemen Identitas Penjumlahan:**
  [0] adalah identitas karena $$ [0] + [a] = [a] $$.

- **Elemen Identitas Perkalian:**
  [1] adalah identitas karena $$ [1] \cdot [a] = [a] $$.

- **Distribusif:**
  $$
  [a] \cdot ([b] + [c]) = [a] \cdot [b + c] = [a(b + c)] = [ab + ac] = [ab] + [ac] = [a] \cdot [b] + [a] \cdot [c]
  $$
  Distribusi terpenuhi.

Dengan semua sifat ring terpenuhi, maka $$ \mathbb{Z}_8 / \mathrm{K} $$ adalah sebuah ring faktor.

### 3. Kesimpulan

Karena $$ \mathrm{K} = \{0, 2, 4, 6\} $$ adalah sebuah ideal dalam $$ \mathbb{Z}_8 $$ dan struktur operasional pada $$ \mathbb{Z}_8 / \mathrm{K} $$ memenuhi semua aksioma ring, maka $$ \mathbb{Z}_8 / \mathrm{K} $$ adalah sebuah Ring Faktor.
$$ \mathbb{Z}_8 / \mathrm{K} $$ adalah Ring Faktor karena $$ \mathrm{K} = \{0, 2, 4, 6\} $$ adalah ideal dalam $$ \mathbb{Z}_8 $$ dan memenuhi semua aksioma ring faktor.

1. Bila \( \mathrm{K}=\{0,2,4\} \) yang merupakan suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam \( Z_{8} \). Tunjukan \( Z_{8} / \mathrm{K} \) adalah merupakan Ring Faktor.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions