Aufgabe 5 (4 Punkte, zum präzisen Aufschrieb). Für \( n \in \mathbb{N} \) sei die Treppenfunktion \( \varphi_{n}:[0,1] \rightarrow \) R gegeben durch \[ \varphi_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text { falls } 0 \leq x<1-\frac{1}{n} \\ n, & \text { falls } 1-\frac{1}{n} \leq x<1, \\ 0, & \text { falls } x=1 .\end{array}\right. \] 1. Bestimmen Sie für jedes \( n \in \mathbb{N} \) das Integral \[ \int_{0}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x . \] 2. Bestimmen Sie für jedes \( x \in[0,1] \) den Grenzwert \( \lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}(x) \). 3. Welche Aussage widerlegen die ersten beiden Teilaufgaben?

Die Funktion \( \varphi_n(x) \) beschreibt eine Treppenfunktion, die sich mit steigendem \( n \) ändert. 1. Um das Integral zu bestimmen, berechnen wir den Bereich, in dem \( \varphi_n(x) = n \) ist. Es gilt \( 1 - \frac{1}{n} \leq x < 1 \). Die Länge dieses Intervalls ist \( 1 - (1 - \frac{1}{n}) = \frac{1}{n} \). Das Integral ergibt sich zu: \[ \int_{0}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x = n \cdot \frac{1}{n} = 1. \] 2. Für \( x \in [0, 1) \) ist \( x < 1 - \frac{1}{n} \) für hinreichend große \( n \) stets erfüllt, sodass \( \lim_{n \rightarrow \infty} \varphi_n(x) = 0 \). Für \( x = 1 \) gilt \( \varphi_n(1) = 0 \) für alle \( n \). Somit ist der Grenzwert: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \varphi_n(x) = 0 \quad \text{für alle } x \in [0, 1]. \] 3. Die ersten beiden Teilaufgaben zeigen, dass das Integral konvergent ist und stets 1 ergibt, während der Grenzwert der Treppenfunktion für alle \( x \) in \([0,1]\) 0 ist. Diese Ergebnisse widersprechen der Aussage, dass das Integral der Funktion gleich dem Grenzwert der Funktion ist, wenn die Funktion punktweise gegen einen Grenzwert konvergiert, was hier nicht zutrifft.