4. Sean $$ f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ dos funciones tales que $$ f(x)=10 x-9, $$ $$ g(x)=\left\{\begin{array}{ll}10 x-9, & x \leq 7 \ 16 x-51, & x7 .\end{array}\right. $$ (a) Encuentre el mínimo valor de $$ A $$ tal que garantice la condición Si $$ 0

Question

4. Sean $$ f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ dos funciones tales que $$ f(x)=10 x-9, $$ $$ g(x)=\left\{\begin{array}{ll}10 x-9, & x \leq 7 \ 16 x-51, & x>7 .\end{array}\right. $$ (a) Encuentre el mínimo valor de $$ A $$ tal que garantice la condición Si $$ 0<|x-5|<\frac{1}{A} $$, entonces $$ |f(x)-41|<\frac{2}{3} $$

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Para encontrar el valor mínimo de $$ A $$ que garantice la condición:

$$ \text{Si } 0 < |x - 5| < \frac{1}{A}, \text{ entonces } |f(x) - 41| < \frac{2}{3}, $$

sigamos los siguientes pasos:

1. **Expresamos $$ |f(x) - 41| $$ en términos de $$ x $$:**

Dado que $$ f(x) = 10x - 9 $$,

$$
   |f(x) - 41| = |10x - 9 - 41| = |10x - 50| = 10|x - 5|.
   $$

2. **Establecemos la desigualdad que debe cumplirse:**

Queremos que:

$$
   10|x - 5| < \frac{2}{3}.
   $$

Dividiendo ambos lados entre 10:

$$
   |x - 5| < \frac{2}{30} = \frac{1}{15}.
   $$

3. **Relacionamos con $$ \frac{1}{A} $$:**

La condición dada es $$ 0 < |x - 5| < \frac{1}{A} $$. Para asegurar que $$ |x - 5| < \frac{1}{15} $$, necesitamos que:

$$
   \frac{1}{A} \leq \frac{1}{15}.
   $$

Invirtiendo ambos lados (y recordando que al invertir una desigualdad positiva se mantiene la dirección):

$$
   A \geq 15.
   $$

4. **Conclusión:**

El valor mínimo de $$ A $$ que satisface la condición es $$ A = 15 $$.

**Respuesta Final:**

El valor mínimo de $$ A $$ es $$ 15 $$.
El valor mínimo de $$ A $$ es $$ 15 $$.

Sean dos funciones tales que

(a) Encuentre el mínimo valor de tal que garantice la condición
Si , entonces

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Sean dos funciones tales que (a) Encuentre el mínimo valor de tal que garantice la condición Si , entonces