Question
8. \( f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+2 x \); considere que \( F(0)=15 \)
Ask by Pena Gough. in Mexico
Jan 26,2025
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Answer
The function \( F(x) \) is \( \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + 15 \).
Solution
Para encontrar la función \( F(x) \) que es una antiderivada de \( f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 2x \) y que satisface la condición \( F(0) = 15 \), seguimos estos pasos:
### Paso 1: Encontrar la antiderivada general \( F(x) \)
Integrar cada término de \( f(x) \):
\[
\int f(x) \, dx = \int \left(2x^3 - 4x^2 + 2x\right) dx
\]
\[
= 2 \int x^3 \, dx - 4 \int x^2 \, dx + 2 \int x \, dx
\]
\[
= 2 \left(\frac{x^4}{4}\right) - 4 \left(\frac{x^3}{3}\right) + 2 \left(\frac{x^2}{2}\right) + C
\]
\[
= \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + C
\]
### Paso 2: Aplicar la condición inicial \( F(0) = 15 \)
Sustituimos \( x = 0 \) en \( F(x) \):
\[
F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - \frac{4}{3}(0)^3 + (0)^2 + C = 15
\]
\[
0 + 0 + 0 + C = 15 \implies C = 15
\]
### Paso 3: Escribir la función \( F(x) \) completa
\[
F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + 15
\]
Por lo tanto, la función antiderivada que cumple con las condiciones dadas es:
\[
F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + 15
\]
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Para encontrar \( F(x) \), la función primitiva o integral indefinida de \( f(x) \), empezamos integrando \( f(x) \). Esto da: \[ F(x) = \int (2x^3 - 4x^2 + 2x) \, dx = \frac{2}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{2}x^2 + C = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + C \] Usando que \( F(0) = 15 \) para encontrar el valor de \( C \): \[ F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - \frac{4}{3}(0)^3 + (0)^2 + C = C \] Por lo tanto, \( C = 15 \). Así, la función primitiva completa es: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + 15 \] Ahora ya tienes la función primitiva que satisface la condición dada.
