polovini kruga $$ \quad x^{2}+y^{2} \leq 4 $$. 4. (4 boda) Nađi integral skalarnog polia $$ f(x, y, z)=2 x^{2}+y^{2}+z^{2} $$ po krivulji $$ \vec{r}(t)= $$ (2t, sin $$ 2 t,-\cos 2 t), 0 \leq t \leq \pi / 2 $$. 5. ( 3 boda) Nadite integral vektorskog polja $$ \vec{F}(\vec{r})=(y, z-x, x) $$ krivulji $$ \vec{r}(t)= $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Naravno, evo rješenja za zadatke 4 i 5.

---

### 4. (4 boda)
**Zadatak:**
Nađi integral skalarnog polja $$ f(x, y, z) = 2x^{2} + y^{2} + z^{2} $$ po krivulji $$ \vec{r}(t) = (2t, \sin(2t), -\cos(2t)) $$, gdje je $$ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} $$.

**Rješenje:**

Integral skalarnog polja duž krivulje definira se kao:
$$
\int_{C} f(\vec{r}(t)) \, ds
$$
gdje je $$ ds = |\vec{r}\,'(t)| \, dt $$.

Korak 1: Izračunajmo $$ f(\vec{r}(t)) $$.

$$
f(\vec{r}(t)) = 2(2t)^{2} + (\sin(2t))^{2} + (-\cos(2t))^{2} = 2 \cdot 4t^{2} + \sin^{2}(2t) + \cos^{2}(2t)
$$

Korak 2: Pojednostavimo izraz koristeći trigonometrijski identitet $$ \sin^{2}(\theta) + \cos^{2}(\theta) = 1 $$.

$$
f(\vec{r}(t)) = 8t^{2} + 1
$$

Korak 3: Izračunajmo $$ \vec{r}\,'(t) $$.

$$
\vec{r}\,'(t) = \left( \frac{d}{dt}(2t), \frac{d}{dt}(\sin(2t)), \frac{d}{dt}(-\cos(2t)) \right) = (2, 2\cos(2t), 2\sin(2t))
$$

Korak 4: Izračunajmo veličinu vektora $$ \vec{r}\,'(t) $$.

$$
|\vec{r}\,'(t)| = \sqrt{2^{2} + (2\cos(2t))^{2} + (2\sin(2t))^{2}} = \sqrt{4 + 4\cos^{2}(2t) + 4\sin^{2}(2t)}
$$
$$
= \sqrt{4 + 4(\cos^{2}(2t) + \sin^{2}(2t))} = \sqrt{4 + 4(1)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
$$

Korak 5: Sastavimo integral.

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\vec{r}(t)) \, |\vec{r}\,'(t)| \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (8t^{2} + 1) \cdot 2\sqrt{2} \, dt = 2\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (8t^{2} + 1) \, dt
$$

Korak 6: Izračunajmo integral.

$$
2\sqrt{2} \left[ \frac{8}{3} t^{3} + t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2\sqrt{2} \left( \frac{8}{3} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{3} + \frac{\pi}{2} \right)
$$
$$
= 2\sqrt{2} \left( \frac{8}{3} \cdot \frac{\pi^{3}}{8} + \frac{\pi}{2} \right) = 2\sqrt{2} \left( \frac{\pi^{3}}{3} + \frac{\pi}{2} \right) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\pi^{3} + 3\pi}{6}
$$
$$
= \frac{2\sqrt{2}(2\pi^{3} + 3\pi)}{6} = \frac{\sqrt{2}(2\pi^{3} + 3\pi)}{3}
$$

**Odgovor:**
$$
\int_{C} f(x, y, z) \, ds = \frac{\sqrt{2}(2\pi^{3} + 3\pi)}{3}
$$

---

### 5. (3 boda)
**Zadatak:**
Nadite integral vektorskog polja $$ \vec{F}(\vec{r}) = (y, z - x, x) $$ krivulji $$ \vec{r}(t) = $$ [parametrizacija nije potpuna u pitanju, pretpostavljam da je to samo početak zadatka].

**Napomena:**
Čini se da u zadatku 5 nedostaje potpuna parametrizacija krivulje $$ \vec{r}(t) $$. Potrebno je imati potpunu funkciju $$ \vec{r}(t) $$ i granice intervala za $$ t $$ kako bismo mogli izračunati integral.

**Preporuka:**
Molim vas da dostavite kompletnu parametrizaciju krivulje $$ \vec{r}(t) $$, uključujući izraze za sve komponente i interval za $$ t $$, kako bih vam mogao točno pomoći u rješavanju ovog zadatka.

---

Ako imate dodatnih informacija ili trebate pomoć s drugim zadacima, slobodno se javite!
**4. (4 bodova)** Integral skalarnog polja $$ f(x, y, z) = 2x^{2} + y^{2} + z^{2} $$ po krivulji $$ \vec{r}(t) = (2t, \sin(2t), -\cos(2t)) $$ za $$ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} $$ je: $$ \frac{\sqrt{2}(2\pi^{3} + 3\pi)}{3} $$ **5. (3 bodova)** Integral vektorskog polja $$ \vec{F}(\vec{r}) = (y, z - x, x) $$ po krivulji $$ \vec{r}(t) $$ ne može biti izračunat jer nedostaje potpuna parametrizacija krivulje $$ \vec{r}(t) $$. **Napomena:** Molim vas da dostavite kompletnu parametrizaciju krivulje $$ \vec{r}(t) $$ i granice intervala za $$ t $$ kako bih vam mogao točno pomoći u rješavanju ovog zadatka.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Calculus Questions