PROBLEMA 2 Se tiene un cierto número de bolas blancas, rojas y azules, donde se cumple que por cada blancas hay 5 rojas y por cada 7 rojas hay 11 azules. Si la cantidad de azules excede a los rojos en 140 . En cuánto excede las bolas azules respecto a las bolas blancas? \( \begin{array}{lll}\text { A) } 49 & \text { B) } 196 & \text { C) } 198 \\ \text { D) } 189 & \text { E) } 169 & \end{array} \)

Para resolver el problema, vamos a definir las variables que representan la cantidad de bolas de cada color: - Sea \( b \) la cantidad de bolas blancas. - La cantidad de bolas rojas es \( r = 5b \) (ya que por cada bola blanca hay 5 rojas). - La cantidad de bolas azules es \( a \). Según el problema, por cada 7 rojas hay 11 azules, lo que se puede expresar como: \[ \frac{a}{r} = \frac{11}{7} \] Sustituyendo \( r \) en la ecuación: \[ \frac{a}{5b} = \frac{11}{7} \] De aquí, podemos despejar \( a \): \[ a = 5b \cdot \frac{11}{7} = \frac{55b}{7} \] Ahora, según el problema, la cantidad de azules excede a los rojos en 140: \[ a = r + 140 \] Sustituyendo \( a \) y \( r \): \[ \frac{55b}{7} = 5b + 140 \] Multiplicamos toda la ecuación por 7 para eliminar el denominador: \[ 55b = 35b + 980 \] Restamos \( 35b \) de ambos lados: \[ 20b = 980 \] Despejamos \( b \): \[ b = \frac{980}{20} = 49 \] Ahora que tenemos \( b \), podemos calcular \( r \) y \( a \): \[ r = 5b = 5 \cdot 49 = 245 \] \[ a = \frac{55b}{7} = \frac{55 \cdot 49}{7} = 385 \] Finalmente, queremos saber en cuánto exceden las bolas azules respecto a las bolas blancas: \[ a - b = 385 - 49 = 336 \] Sin embargo, parece que hemos cometido un error en la interpretación de la pregunta. Vamos a revisar el cálculo de \( a \) y \( r \) para asegurarnos de que todo esté correcto. Dado que \( a = r + 140 \): \[ 385 = 245 + 140 \] Esto es correcto. Ahora, para encontrar la diferencia entre las bolas azules y las bolas blancas: \[ a - b = 385 - 49 = 336 \] Sin embargo, esto no coincide con las opciones dadas. Vamos a revisar el cálculo de \( a \) nuevamente: \[ a = \frac{55b}{7} = \frac{55 \cdot 49}{7} = 385 \] Todo parece correcto, pero la pregunta es en cuánto exceden las bolas azules respecto a las bolas blancas. La diferencia es: \[ a - b = 336 \] Parece que no hay coincidencia con las opciones. Vamos a revisar el planteamiento: 1. \( b = 49 \) 2. \( r = 245 \) 3. \( a = 385 \) La diferencia es: \[ a - b = 385 - 49 = 336 \] Parece que no hay coincidencia con las opciones. Sin embargo, si revisamos el planteamiento, parece que la pregunta se refiere a la diferencia en términos de la cantidad de bolas azules respecto a las bolas blancas. La respuesta correcta es que las bolas azules exceden a las bolas blancas en 336, pero no está en las opciones. Por lo tanto, la respuesta correcta es que las bolas azules exceden a las bolas blancas en 336, que no está en las opciones proporcionadas.