Esercizio 4. (a) (4pt) Si trovino due rette sghembe distanti 1 e che pascano una per il punto \( A(1,0,0) \) e \( B(0,0,-2) \) (b) (4pt) Calcolareraggio e centro della circonferenza nello spazio \( 8:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y-2 z=2 \\ x+y=-1\end{array}\right. \) (c) (4pt) Trovare una sfera tangente a entrambi i piani \( x+y=2 \) e \( x+y=-3 \)

Ecco le soluzioni ai tre punti dell'esercizio: ### (a) Due rette sghembe distanti 1 che passano per i punti \( A(1,0,0) \) e \( B(0,0,-2) \) Per trovare due rette sghembe (cioè non parallele e non intersecanti) passanti per \( A \) e \( B \) rispettivamente e distanti 1, procediamo nel seguente modo: 1. **Rette passanti per A e B:** - **Retta \( r_1 \)** passante per \( A(1,0,0) \) con direzione \( \vec{v}_1 = (1,1,0) \). - **Retta \( r_2 \)** passante per \( B(0,0,-2) \) con direzione \( \vec{v}_2 = (1,-1,0) \). 2. **Verifica della distanza:** La distanza tra due rette sghembe si calcola usando la formula: \[ d = \frac{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \cdot \vec{AB}|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|} \] Dove \( \vec{AB} = B - A = (-1,0,-2) \). Calcolando il prodotto vettoriale: \[ \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = (0,0,-2) \] \[ \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \cdot \vec{AB} = -2 \times (-1) = 2 \] \[ |\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = 2 \] Quindi: \[ d = \frac{2}{2} = 1 \] Pertanto, le rette \( r_1 \) e \( r_2 \) sono sghembe e distanti 1. ### (b) Calcolo del raggio e del centro della circonferenza nello spazio Dato il sistema: \[ \begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y - 2z = 2 \\ x + y = -1 \end{cases} \] 1. **Equazione della sfera:** Riscriviamo l'equazione della sfera completando i quadrati: \[ x^{2} + (y -1)^2 + (z -1)^2 = 4 \] Quindi, il centro della sfera è \( S(0,1,1) \) e il suo raggio è \( R = 2 \). 2. **Intersezione con il piano \( x + y = -1 \):** La proiezione del centro \( S \) sul piano \( x + y = -1 \) è il punto \( C(-1,0,1) \). 3. **Raggio della circonferenza:** La distanza tra \( S \) e il piano è \( \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} \), quindi il raggio della circonferenza è: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} \] **Risultato:** La circonferenza ha centro in \( C(-1,0,1) \) e raggio \( \sqrt{2} \). ### (c) Trovare una sfera tangente ai piani \( x + y = 2 \) e \( x + y = -3 \) 1. **Distanza tra i piani:** I piani \( x + y = 2 \) e \( x + y = -3 \) sono paralleli. La distanza tra di essi è: \[ d = \frac{|2 - (-3)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \] 2. **Centro della sfera:** Il centro della sfera deve trovarsi a metà distanza tra i due piani, quindi sul piano \( x + y = \frac{2 + (-3)}{2} = -\frac{1}{2} \). 3. **Raggio della sfera:** Poiché la sfera è tangente ad entrambi i piani, il raggio sarà la metà della distanza tra i piani: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4} \] **Risultato:** La sfera ha centro su \( x + y = -\frac{1}{2} \) e raggio \( \frac{5}{2\sqrt{2}} \).