Prove thatt he set of cube roots of unity forms an abelian group with respect to multiplication. सिद्ध कीजिए कि एकता के घनमूलों का समुच्चय गुणन के सम्बन्ध में एक एवेलियन समूह बनाता है।

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

### **Proof in English**

We need to prove that the set of cube roots of unity forms an **abelian group** under multiplication.

**Cube Roots of Unity:**
The cube roots of unity are the solutions to the equation $$ z^3 = 1 $$ in the complex plane. These solutions are:
$$
1, \quad \omega = e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \omega^2 = e^{4\pi i/3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
Thus, the set is $$ G = \{1, \omega, \omega^2\} $$.

**Group Properties:**

1. **Closure:**
   - Multiply any two elements in $$ G $$:
     $$
     \begin{aligned}
     1 \cdot 1 &= 1 \in G \
     1 \cdot \omega &= \omega \in G \
     1 \cdot \omega^2 &= \omega^2 \in G \
     \omega \cdot \omega &= \omega^2 \in G \
     \omega \cdot \omega^2 &= \omega^3 = 1 \in G \
     \omega^2 \cdot \omega^2 &= \omega^4 = \omega \in G \
     \end{aligned}
     $$
   - Therefore, $$ G $$ is closed under multiplication.

2. **Associativity:**
   - Multiplication of complex numbers is associative. For any $$ a, b, c \in G $$, $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $$.

3. **Identity Element:**
   - The element $$ 1 $$ acts as the identity since $$ 1 \cdot a = a \cdot 1 = a $$ for all $$ a \in G $$.

4. **Inverse Elements:**
   - Each element has an inverse in $$ G $$:
     $$
     \begin{aligned}
     1^{-1} &= 1 \in G \
     \omega^{-1} &= \omega^2 \in G \
     (\omega^2)^{-1} &= \omega \in G \
     \end{aligned}
     $$

5. **Commutativity (Abelian Property):**
   - Multiplication of complex numbers is commutative. For any $$ a, b \in G $$, $$ a \cdot b = b \cdot a $$.

Since all group axioms are satisfied and the operation is commutative, $$ G = \{1, \omega, \omega^2\} $$ forms an **abelian group** under multiplication.

---

### **सिद्धांत हिन्दी में**

हमें यह सिद्ध करना है कि एकता के घनमूलों का समुच्चय गुणन के संबंध में **एबेलियन समूह** बनाता है।

**एकता के घनमूल:**
एकता के घनमूल जटिल संख्या क्षेत्र में समीकरण $$ z^3 = 1 $$ के समाधान हैं। ये समाधान हैं:
$$
1, \quad \omega = e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \omega^2 = e^{4\pi i/3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
इस प्रकार, समुच्चय है $$ G = \{1, \omega, \omega^2\} $$।

**समूह के गुण:**

1. **बंदन (Closure):**
   - $$ G $$ के किसी भी दो तत्व का गुणा $$ G $$ में ही रहता है:
     $$
     \begin{aligned}
     1 \cdot 1 &= 1 \in G \
     1 \cdot \omega &= \omega \in G \
     1 \cdot \omega^2 &= \omega^2 \in G \
     \omega \cdot \omega &= \omega^2 \in G \
     \omega \cdot \omega^2 &= \omega^3 = 1 \in G \
     \omega^2 \cdot \omega^2 &= \omega^4 = \omega \in G \
     \end{aligned}
     $$
   - अतः, $$ G $$ गुणन के तहत बंद है।

2. **संयुग्मता (Associativity):**
   - जटिल संख्याओं का गुणन संयुग्मक होता है। किसी भी $$ a, b, c \in G $$ के लिए, $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $$ है।

3. **एकत्व तत्त्व (Identity Element):**
   - तत्त्व $$ 1 $$ एकत्व के रूप में कार्य करता है क्योंकि $$ 1 \cdot a = a \cdot 1 = a $$ हर $$ a \in G $$ के लिए।

4. **विलोम तत्त्व (Inverse Elements):**
   - प्रत्येक तत्त्व का एक विलोम $$ G $$ में मौजूद है:
     $$
     \begin{aligned}
     1^{-1} &= 1 \in G \
     \omega^{-1} &= \omega^2 \in G \
     (\omega^2)^{-1} &= \omega \in G \
     \end{aligned}
     $$

5. **समीकरणीयता (Commutativity - एबेलियन गुण):**
   - जटिल संख्याओं का गुणन समीकरणीय होता है। किसी भी $$ a, b \in G $$ के लिए, $$ a \cdot b = b \cdot a $$ है।

चूंकि सभी समूह के धातु संतुष्ट होते हैं और गुणन समीकरणीय है, इसलिए $$ G = \{1, \omega, \omega^2\} $$ गुणन के संबंध में **एबेलियन समूह** बनाता है।
The set of cube roots of unity forms an abelian group under multiplication because it satisfies all group properties and the operation is commutative.

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