Hausaufgabe 49: (Weitere mehrdimensionale Integrale) Berechnen Sie die folgenden Integrale: (2+4=6 Punkte) \( I_{1}=\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\pi / 2} \sin (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \quad \) b) \( I_{2}=\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{4-2 x} \mathrm{~d} y \int_{0}^{8-4 x-2 y} \mathrm{~d} z 45 x^{2} y \)

**Lösung zu Hausaufgabe 49: (Weitere mehrdimensionale Integrale)** **Teil a)** Berechnung des Integrals \( I_{1} \): \[ I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x + y) \, dx \, dy \] **Schritt 1:** Integrieren nach \( x \): \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x + y) \, dx = \left[-\cos(x + y)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2} + y\right) + \cos(y) = \sin(y) + \cos(y) \] **Schritt 2:** Integrieren nach \( y \): \[ I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin(y) + \cos(y) \right) \, dy = \left[-\cos(y) + \sin(y)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(0 + 1\right) - \left(-1 + 0\right) = 2 \] **Ergebnis:** \[ I_{1} = 2 \] --- **Teil b)** Berechnung des Integrals \( I_{2} \): \[ I_{2} = \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - 2x} \int_{0}^{8 - 4x - 2y} 45x^{2} y \, dz \, dy \, dx \] **Schritt 1:** Integrieren nach \( z \): \[ \int_{0}^{8 - 4x - 2y} 45x^{2} y \, dz = 45x^{2} y \left[ z \right]_{0}^{8 - 4x - 2y} = 45x^{2} y (8 - 4x - 2y) \] **Schritt 2:** Integrieren nach \( y \): \[ I_{2} = \int_{0}^{2} 45x^{2} \int_{0}^{4 - 2x} y (8 - 4x - 2y) \, dy \, dx \] Expandieren und vereinfachen des inneren Integrals: \[ y (8 - 4x - 2y) = 8y - 4xy - 2y^{2} \] \[ \int_{0}^{4 - 2x} (8y - 4xy - 2y^{2}) \, dy = \left[4y^{2} - 2x y^{2} - \frac{2}{3} y^{3}\right]_{0}^{4 - 2x} \] Nach Auswertung und Vereinfachung erhalten wir: \[ 64/3 - 32x + 80x^{2} - \frac{40}{3} x^{3} \] **Schritt 3:** Integrieren nach \( x \): \[ I_{2} = 45 \int_{0}^{2} x^{2} \left( \frac{64}{3} - 32x + 80x^{2} - \frac{40}{3} x^{3} \right) dx \] Vereinfachen der Integranden: \[ I_{2} = \int_{0}^{2} \left(960x^{2} - 1440x^{3} + 3600x^{4} - 600x^{5}\right) dx \] Integrieren termweise: \[ I_{2} = 960 \cdot \frac{x^{3}}{3} - 1440 \cdot \frac{x^{4}}{4} + 3600 \cdot \frac{x^{5}}{5} - 600 \cdot \frac{x^{6}}{6} \Bigg|_{0}^{2} \] Nach Auswertung bei \( x = 2 \) und \( x = 0 \): \[ I_{2} = 2560 - 5760 + 23040 - 6400 = 13440 \] **Ergebnis:** \[ I_{2} = 13.440 \] --- **Zusammenfassung:** a) \( I_{1} = 2 \) b) \( I_{2} = 13.440 \)