Answer
a) \( (5y^{11} - 4m^{5} n^{2} p^{4})(5y^{11} + 4m^{5} n^{2} p^{4}) \)
b) \( (9 d^{16} e^{22} f^{14} - 11 a^{3} b^{6} c^{12})(9 d^{16} e^{22} f^{14} + 11 a^{3} b^{6} c^{12}) \)
c) \( \left(\frac{2}{3} x^{2} z^{9} - \frac{10}{13} y^{18} w^{6}\right)\left(\frac{2}{3} x^{2} z^{9} + \frac{10}{13} y^{18} w^{6}\right) \)
d) \( \left(\frac{1}{3} c^{13} d^{15} - \frac{7}{5} a^{3} b^{7}\right)\left(\frac{1}{3} c^{13} d^{15} + \frac{7}{5} a^{3} b^{7}\right) \)
Solution
Para factorizar las expresiones dadas, procederemos con cada una de ellas:
a) \( 25 x^{2} y^{22}-16 m^{10} n^{4} p^{8} \)
Esta expresión es una diferencia de cuadrados. Podemos reescribirla como:
\[
(5y^{11})^{2} - (4m^{5} n^{2} p^{4})^{2}
\]
Por lo tanto, se puede factorizar como:
\[
(5y^{11} - 4m^{5} n^{2} p^{4})(5y^{11} + 4m^{5} n^{2} p^{4})
\]
b) \( -121 a^{6} b^{12} c^{24}+81 d^{32} e^{44} f^{28} \)
Esta expresión también es una diferencia de cuadrados. Reescribiéndola, tenemos:
\[
-(11 a^{3} b^{6} c^{12})^{2} + (9 d^{16} e^{22} f^{14})^{2}
\]
Por lo tanto, se puede factorizar como:
\[
(9 d^{16} e^{22} f^{14} - 11 a^{3} b^{6} c^{12})(9 d^{16} e^{22} f^{14} + 11 a^{3} b^{6} c^{12})
\]
c) \( \frac{36}{81} x^{4} z^{18}-\frac{100}{169} y^{36} w^{12} \)
Primero simplificamos los coeficientes:
\[
\frac{36}{81} = \frac{4}{9} \quad \text{y} \quad \frac{100}{169} = \frac{100}{169}
\]
La expresión se convierte en:
\[
\frac{4}{9} x^{4} z^{18} - \frac{100}{169} y^{36} w^{12}
\]
Ahora, podemos reescribirla como una diferencia de cuadrados:
\[
\left(\frac{2}{3} x^{2} z^{9}\right)^{2} - \left(\frac{10}{13} y^{18} w^{6}\right)^{2}
\]
Por lo tanto, se puede factorizar como:
\[
\left(\frac{2}{3} x^{2} z^{9} - \frac{10}{13} y^{18} w^{6}\right)\left(\frac{2}{3} x^{2} z^{9} + \frac{10}{13} y^{18} w^{6}\right)
\]
d) \( -\frac{49}{25} a^{6} b^{14}+\frac{1}{9} c^{26} d^{30} \)
Primero, reescribimos la expresión:
\[
-\left(\frac{7}{5} a^{3} b^{7}\right)^{2} + \left(\frac{1}{3} c^{13} d^{15}\right)^{2}
\]
Esto también es una diferencia de cuadrados, por lo que se puede factorizar como:
\[
\left(\frac{1}{3} c^{13} d^{15} - \frac{7}{5} a^{3} b^{7}\right)\left(\frac{1}{3} c^{13} d^{15} + \frac{7}{5} a^{3} b^{7}\right)
\]
Estas son las factorizaciones de las expresiones dadas.
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