24) $$ \lim _{x ightarrow 4} \frac{2-\sqrt{x}}{x^{2}-16}= $$ ? $$ \begin{array}{lllll} ext { A) }-\infty & ext { B) } \frac{1}{32} & ext { C) } 0 & ext { D) }-\frac{1}{32} & ext { E) Limit yoktur }\end{array} $$

Question

24) $$ \lim _{x ightarrow 4} \frac{2-\sqrt{x}}{x^{2}-16}= $$ ? $$ \begin{array}{lllll}	ext { A) }-\infty & 	ext { B) } \frac{1}{32} & 	ext { C) } 0 & 	ext { D) }-\frac{1}{32} & 	ext { E) Limit yoktur }\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Verilen limit ifadesi:

$$
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{2-\sqrt{x}}{x^{2}-16}
$$

Öncelikle, x = 4 yerine koyduğumuzda hem pay hem de payda sıfır olur:

$$
\frac{2 - \sqrt{4}}{4^2 - 16} = \frac{2 - 2}{16 - 16} = \frac{0}{0}
$$

Bu belirsiz formu çözmek için ifadeyi sadeleştirelim.

Payda $$ x^2 - 16 $$ terimini çarpanlarına ayırabiliriz:

$$
x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)
$$

Paydaki ifadenin sadeleştirilmesi için payı rasyonelleştirelim:

$$
\frac{2 - \sqrt{x}}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{2 + \sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} = \frac{4 - x}{(x - 4)(x + 4)(2 + \sqrt{x})}
$$

Bu ifadede $$4 - x = -(x - 4)$$ olduğundan:

$$
\frac{-(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)(2 + \sqrt{x})} = \frac{-1}{(x + 4)(2 + \sqrt{x})}
$$

Şimdi x = 4 için limiti alalım:

$$
\frac{-1}{(4 + 4)(2 + \sqrt{4})} = \frac{-1}{8 \times 4} = -\frac{1}{32}
$$

Doğru cevap:

**D) $$-\frac{1}{32}$$**
Limit $$ \lim _{x \rightarrow 4} \frac{2-\sqrt{x}}{x^{2}-16} = -\frac{1}{32} $$.

?

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions