8. $$ g(x)=\left\{\begin{array}{c}3, x \leq 2 \ \frac{x}{2}+3, x2\end{array} ight. $$

Question

8. $$ g(x)=\left\{\begin{array}{c}3, x \leq 2 \ \frac{x}{2}+3, x>2\end{array}ight. $$

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La función $$ g(x) $$ está definida de manera **a trozos** de la siguiente manera:

$$
g(x) = 
\begin{cases} 
3, & \text{si } x \leq 2 \
\frac{x}{2} + 3, & \text{si } x > 2 
\end{cases}
$$

### Análisis de la Función

1. **Dominio**:
   - La función está definida para todos los valores de $$ x $$ reales. Por lo tanto, el **dominio** es $$ \mathbb{R} $$.

2. **Rango**:
   - Para $$ x \leq 2 $$, $$ g(x) = 3 $$. 
   - Para $$ x > 2 $$, $$ g(x) = \frac{x}{2} + 3 $$, que es una función lineal con pendiente positiva.
   - A medida que $$ x $$ aumenta más allá de 2, $$ g(x) $$ también incrementa sin límite superior.
   - Por lo tanto, el **rango** es $$ [3, \infty) $$.

3. **Puntos Clave**:
   - **Punto de transición** en $$ x = 2 $$:
     $$
     g(2) = 3
     $$
     $$
     \lim_{x \to 2^+} g(x) = \frac{2}{2} + 3 = 4
     $$
     - Hay una **discontinuidad** en $$ x = 2 $$ ya que el límite por la derecha no coincide con el valor de la función.
     
4. **Gráfica de la Función**:

- **Para $$ x \leq 2 $$**:
     - Es una línea horizontal en $$ y = 3 $$.
   - **Para $$ x > 2 $$**:
     - Es una línea recta con pendiente $$ \frac{1}{2} $$ y ordenada al origen $$ y = 3 $$.
   - **Discontinuidad**:
     - En $$ x = 2 $$, la función tiene un salto de 3 a 4.

![Gráfica de g(x)](https://i.imgur.com/3Xo9IlK.png)

5. **Interpretación**:
   - La función $$ g(x) $$ permanece constante en 3 para todos los valores de $$ x $$ menores o iguales a 2.
   - Una vez que $$ x $$ supera 2, la función comienza a incrementarse linealmente a razón de $$ \frac{1}{2} $$ por cada unidad que aumenta $$ x $$.

### Resumen

- **Dominio**: $$ \mathbb{R} $$
- **Rango**: $$ [3, \infty) $$
- **Tipo de Función**: Función a trozos con una parte constante y una parte lineal.
- **Continuidad**: Discontinua en $$ x = 2 $$.

Si tienes alguna pregunta específica sobre esta función o necesitas un análisis más detallado, no dudes en preguntar.
La función $$ g(x) $$ es una función a trozos definida como: $$ g(x) = \begin{cases} 3, & \text{si } x \leq 2 \ \frac{x}{2} + 3, & \text{si } x > 2 \end{cases} $$ **Características**: - **Dominio**: Todos los números reales. - **Rango**: Todos los números mayores o iguales a 3. - **Punto de transición en $$ x = 2 $$**: La función salta de 3 a 4, lo que indica una discontinuidad. - **Gráfica**: Una línea horizontal en $$ y = 3 $$ para $$ x \leq 2 $$ y una línea recta con pendiente $$ \frac{1}{2} $$ para $$ x > 2 $$. Esta función es constante para valores de $$ x $$ menores o iguales a 2 y aumenta linealmente para valores mayores.

8. \( g(x)=\left\{\begin{array}{c}3, x \leq 2 \\ \frac{x}{2}+3, x>2\end{array}\right. \)

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