La relación general de dfdrgo y deformación de un material compuesto se expresa con: \[ \text { esfuerzo }\left\{\begin{array}{c} \varepsilon_{x} \\ \varepsilon_{y} \\ \gamma_{x y} \end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{E_{x}} & \frac{-v_{y x}}{E_{y}} & 0 \\ \frac{-v_{x y}}{E_{x}} & \frac{1}{E_{y}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{G_{x y}} \end{array}\right]\left\{\begin{array}{c} \sigma_{x} \\ \sigma_{y} \\ \tau_{x y} \end{array}\right\} \] El material T300/914 está formado por aproximadamente \( 50 \% \) de fibra de carbono con fibras de \( 7 \mu \mathrm{~m} \) de diámetro y \( 50 \% \) de resina epoxica. El laminado a utilizar tiene las siguientes características: \[ E_{x}=134 G P a, \quad E_{y}=7 G P a, \quad v_{x y}=0.25, \quad G_{x y}=4.2 G P a \] Obtener los valores de los esfuerzos \( \left(\sigma_{x} \sigma_{y}, \tau_{x y}\right) \) a los que va a estar sometido el material cuando sufra unas deformaciones de: \[ \left\{\begin{array}{c} \varepsilon_{x}=0.05 \\ \varepsilon_{y}=-0.001 \\ \gamma_{x y}=0.0095 \end{array}\right. \] Considerar también la siguiente relación: \[ \frac{v_{x y}}{E_{x}}=\frac{v_{y x}}{E_{y}} \]

Para determinar los valores de los esfuerzos \((\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy})\) a los que estará sometido el material compuesto T300/914 bajo las deformaciones dadas, seguiremos los siguientes pasos: ### 1. Matriz de Cumplimiento \([S]\) La relación entre deformación y esfuerzo se expresa mediante la matriz de cumplimiento: \[ \{\varepsilon\} = [S]\{\sigma\} \] Donde: \[ [S] = \begin{bmatrix} \frac{1}{E_x} & \frac{-v_{yx}}{E_y} & 0 \\ \frac{-v_{xy}}{E_x} & \frac{1}{E_y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{G_{xy}} \end{bmatrix} \] Dado que: \[ \frac{v_{xy}}{E_x} = \frac{v_{yx}}{E_y} \] Podemos calcular \(v_{yx}\): \[ v_{yx} = v_{xy} \cdot \frac{E_y}{E_x} = 0.25 \cdot \frac{7}{134} \approx 0.01307 \] Por lo tanto, la matriz de cumplimiento queda: \[ [S] = \begin{bmatrix} 0.0074627 & -0.0018657 & 0 \\ -0.0018657 & 0.1428571 & 0 \\ 0 & 0 & 0.2380952 \end{bmatrix} \ \text{(en GPa}^{-1}\text{)} \] ### 2. Sistema de Ecuaciones Las deformaciones dadas son: \[ \{\varepsilon\} = \begin{bmatrix} 0.05 \\ -0.001 \\ 0.0095 \end{bmatrix} \] Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} 0.0074627 \sigma_x - 0.0018657 \sigma_y = 0.05 \\ -0.0018657 \sigma_x + 0.1428571 \sigma_y = -0.001 \\ 0.2380952 \tau_{xy} = 0.0095 \end{cases} \] ### 3. Resolución del Sistema - **Para \(\tau_{xy}\):** \[ \tau_{xy} = \frac{0.0095}{0.2380952} \approx 0.04 \ \text{GPa} \] - **Para \(\sigma_x\) y \(\sigma_y\):** Resolviendo el sistema de las dos primeras ecuaciones: \[ \begin{cases} 0.0074627 \sigma_x - 0.0018657 \sigma_y = 0.05 \\ -0.0018657 \sigma_x + 0.1428571 \sigma_y = -0.001 \end{cases} \] Utilizando el método de Cramer: \[ D = (0.0074627 \times 0.1428571) - (-0.0018657 \times -0.0018657) \approx 0.0010626 \] \[ D_x = (0.05 \times 0.1428571) - (-0.0018657 \times -0.001) \approx 0.0071429 \] \[ D_y = (0.0074627 \times -0.001) - (0.05 \times -0.0018657) \approx 0.00008582 \] Por lo tanto: \[ \sigma_x = \frac{D_x}{D} \approx \frac{0.0071429}{0.0010626} \approx 6.714 \ \text{GPa} \] \[ \sigma_y = \frac{D_y}{D} \approx \frac{0.00008582}{0.0010626} \approx 0.0807 \ \text{GPa} \] ### 4. Resultados Finales Los valores de los esfuerzos son: \[ \boxed{ \begin{aligned} \sigma_x &\approx 6.71 \ \text{GPa}, \\ \sigma_y &\approx 0.081 \ \text{GPa}, \\ \tau_{xy} &\approx 0.04 \ \text{GPa}. \end{aligned} } \]