PROBLEMA 16 En una serie de razones geométricas equivalen- tes, los consecuentes son: \( 3,7,8 \) y 11 . Además, el producto de los antecedentes es 29568 . Hallar la suma de los cuadrados de los antece- dentes. \( \begin{array}{lll}\text { A) } 56 & \text { B) } 58 & \text { C) } 36 \\ \text { D) } 46 & \text { E) } 54 & \end{array} \)

Para resolver el problema, primero identificamos las condiciones dadas: 1. Los consecuentes de la serie de razones geométricas son: \( c_1 = 3 \), \( c_2 = 7 \), \( c_3 = 8 \), \( c_4 = 11 \). 2. El producto de los antecedentes es \( a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 = 29568 \). Dado que estamos tratando con razones geométricas, podemos expresar los antecedentes en términos de una razón común \( r \): - \( a_1 = a \) - \( a_2 = ar \) - \( a_3 = ar^2 \) - \( a_4 = ar^3 \) Los consecuentes se relacionan con los antecedentes de la siguiente manera: \[ \frac{a_1}{c_1} = \frac{a_2}{c_2} = \frac{a_3}{c_3} = \frac{a_4}{c_4} = k \] De aquí, podemos expresar los antecedentes en términos de \( k \): \[ a_1 = 3k, \quad a_2 = 7k, \quad a_3 = 8k, \quad a_4 = 11k \] Ahora, el producto de los antecedentes se puede escribir como: \[ (3k)(7k)(8k)(11k) = 29568 \] Simplificando, tenemos: \[ (3 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 11) k^4 = 29568 \] Calculamos el producto de los números: \[ 3 \cdot 7 = 21 \] \[ 21 \cdot 8 = 168 \] \[ 168 \cdot 11 = 1848 \] Por lo tanto, la ecuación se convierte en: \[ 1848 k^4 = 29568 \] Ahora, despejamos \( k^4 \): \[ k^4 = \frac{29568}{1848} \] Calculamos \( \frac{29568}{1848} \): \[ k^4 = 16 \] Por lo tanto, \( k = 2 \). Ahora podemos encontrar los antecedentes: \[ a_1 = 3k = 3 \cdot 2 = 6 \] \[ a_2 = 7k = 7 \cdot 2 = 14 \] \[ a_3 = 8k = 8 \cdot 2 = 16 \] \[ a_4 = 11k = 11 \cdot 2 = 22 \] Ahora, hallamos la suma de los cuadrados de los antecedentes: \[ a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 = 6^2 + 14^2 + 16^2 + 22^2 \] Calculamos cada cuadrado: \[ 6^2 = 36 \] \[ 14^2 = 196 \] \[ 16^2 = 256 \] \[ 22^2 = 484 \] Sumamos estos valores: \[ 36 + 196 + 256 + 484 = 972 \] Sin embargo, parece que hemos cometido un error en la interpretación de la pregunta. Vamos a revisar la suma de los cuadrados: \[ 6^2 + 14^2 + 16^2 + 22^2 = 36 + 196 + 256 + 484 \] Sumamos: \[ 36 + 196 = 232 \] \[ 232 + 256 = 488 \] \[ 488 + 484 = 972 \] Parece que hemos calculado correctamente, pero la pregunta pide la suma de los cuadrados de los antecedentes, que no coincide con las opciones dadas. Revisemos si hay un error en la interpretación de los antecedentes o en el cálculo de los productos. Sin embargo, si consideramos que el problema se refiere a la suma de los cuadrados de los antecedentes, la respuesta correcta no está entre las opciones. Por lo tanto, la suma de los cuadrados de los antecedentes es \( 972 \), que no coincide con las opciones A) 56, B) 58, C) 36, D) 46, E) 54. Por favor, verifica si hay algún error en los datos proporcionados o en las opciones.