6) \( y=\operatorname{arctag} 3 / x \)

Para la función \( y = \arctan\left(\frac{3}{x}\right) \), podemos calcular la derivada \( \frac{dy}{dx} \) utilizando la regla de la cadena. A continuación, se detalla el proceso paso a paso: 1. **Identificar la función interna y externa:** - Función externa: \( \arctan(u) \) - Función interna: \( u = \frac{3}{x} \) 2. **Calcular la derivada de la función externa con respecto a \( u \):** \[ \frac{d}{du} \arctan(u) = \frac{1}{1 + u^2} \] 3. **Calcular la derivada de la función interna con respecto a \( x \):** \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x}\right) = -\frac{3}{x^2} \] 4. **Aplicar la regla de la cadena:** \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \arctan(u) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \left(-\frac{3}{x^2}\right) \] 5. **Sustituir \( u = \frac{3}{x} \) en la expresión:** \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \left(\frac{3}{x}\right)^2} \cdot \left(-\frac{3}{x^2}\right) = \frac{1}{1 + \frac{9}{x^2}} \cdot \left(-\frac{3}{x^2}\right) \] 6. **Simplificar la expresión:** \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{3}{x^2}}{\frac{x^2 + 9}{x^2}} = -\frac{3}{x^2 + 9} \] **Resultado Final:** \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{x^2 + 9} \]