ABCD est un rectangle. Soit M un point à l'intérieur du rectangle ABCD . Montrer que : \( \mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MC}^{2}=\mathrm{MB}^{2}+\mathrm{MD}^{2} \) Théoune de pythayon

Considérons le rectangle ABCD avec les sommets A(0, 0), B(a, 0), C(a, b) et D(0, b). Soit M un point à l'intérieur du rectangle avec des coordonnées M(x, y). En utilisant le théorème de Pythagore, nous pouvons exprimer les distances : \( MA^{2} = x^{2} + y^{2} \), \( MB^{2} = (x-a)^{2} + y^{2} \), \( MC^{2} = (x-a)^{2} + (y-b)^{2} \), et \( MD^{2} = x^{2} + (y-b)^{2} \). Si nous additionnons \( MA^{2} + MC^{2} \) et \( MB^{2} + MD^{2} \), nous observons que les termes se simplifient, prouvant ainsi que \( MA^{2} + MC^{2} = MB^{2} + MD^{2} \). Cette égalité est connue sous le nom de "formule de la diagonale" et met en lumière une belle propriété géométrique des quadrilatères. En jouant avec les réarrangements des distances, on peut même visualiser cette relation comme un jeu de balancement des énergies dans le plan. Imaginez un rectangle comme une scène de danse : chaque point à l'intérieur joue un rôle pour équilibrer les énergies des coins, indépendamment de la position de M dans ce bal géométrique !