1. (2,0 pontos) Mostre que a aplicação \( A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \), dada por \[ A(x, y, z)=(2 x-y+3 z, 4 y+2 z, 2 x-y) \] é uma transformação linear. 2. (2,0) Seja \( A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, A(x, y, z)=(x-2 y, 2 x+3 y-z) \). Determine a representação matricial de \( A \) nas bases canônicas de \( \mathbb{R}^{3} \) e \( \mathbb{R}^{2} \).

1. Para mostrar que a aplicação \( A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) dada por \[ A(x, y, z) = (2x - y + 3z, 4y + 2z, 2x - y) \] é uma transformação linear, precisamos verificar duas propriedades fundamentais de transformações lineares: - **Aditividade**: \( A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A(\mathbf{u}) + A(\mathbf{v}) \) para todos \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{3} \). - **Homogeneidade**: \( A(c \mathbf{u}) = c A(\mathbf{u}) \) para todo \( c \in \mathbb{R} \) e \( \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{3} \). Seja \( \mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1) \) e \( \mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2) \). **Verificando a aditividade:** \[ A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A((x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)) = (2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) + 3(z_1 + z_2), 4(y_1 + y_2) + 2(z_1 + z_2), 2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2)) \] Calculando cada componente: 1. Primeira componente: \[ 2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) + 3(z_1 + z_2) = (2x_1 - y_1 + 3z_1) + (2x_2 - y_2 + 3z_2) = A(\mathbf{u}) + A(\mathbf{v}) \] 2. Segunda componente: \[ 4(y_1 + y_2) + 2(z_1 + z_2) = (4y_1 + 2z_1) + (4y_2 + 2z_2) = A(\mathbf{u}) + A(\mathbf{v}) \] 3. Terceira componente: \[ 2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) = (2x_1 - y_1) + (2x_2 - y_2) = A(\mathbf{u}) + A(\mathbf{v}) \] Assim, temos que \( A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A(\mathbf{u}) + A(\mathbf{v}) \). **Verificando a homogeneidade:** Seja \( c \in \mathbb{R} \): \[ A(c \mathbf{u}) = A((cx_1, cy_1, cz_1)) = (2(cx_1) - (cy_1) + 3(cz_1), 4(cy_1) + 2(cz_1), 2(cx_1) - (cy_1)) \] Calculando cada componente: 1. Primeira componente: \[ 2(cx_1) - (cy_1) + 3(cz_1) = c(2x_1 - y_1 + 3z_1) = c A(\mathbf{u}) \] 2. Segunda componente: \[ 4(cy_1) + 2(cz_1) = c(4y_1 + 2z_1) = c A(\mathbf{u}) \] 3. Terceira componente: \[ 2(cx_1) - (cy_1) = c(2x_1 - y_1) = c A(\mathbf{u}) \] Assim, temos que \( A(c \mathbf{u}) = c A(\mathbf{u}) \). Como \( A \) satisfaz as duas propriedades, concluímos que \( A \) é uma transformação linear. --- 2. Para determinar a representação matricial da transformação \( A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) dada por \[ A(x, y, z) = (x - 2y, 2x + 3y - z), \] nas bases canônicas de \( \mathbb{R}^{3} \) e \( \mathbb{R}^{2} \), precisamos encontrar a matriz que representa essa transformação. A matriz \( M \) que representa \( A \) será uma matriz \( 2 \times 3 \) (2 linhas e 3 colunas), onde cada coluna corresponde à imagem dos vetores da base canônica de \( \mathbb{R}^{3} \). Os vetores da base canônica de \( \mathbb{R}^{3} \) são: \[ \mathbf{e_1} = (1, 0, 0), \quad \mathbf{e_2} = (0, 1, 0), \quad \mathbf{e_3} = (0, 0, 1). \] Calculando as imagens: 1. Para \( \mathbf{e_1} = (1, 0, 0) \): \[ A(1, 0, 0) = (1 - 2 \cdot 0, 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 - 0) = (1, 2). \] 2. Para \( \mathbf{e_2} = (0, 1, 0) \): \[ A(0, 1, 0) = (0 - 2 \cdot 1, 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 - 0) = (-2, 3). \] 3. Para \( \mathbf{e_3} = (0, 0, 1) \): \[ A(0, 0, 1) = (0 - 2 \cdot 0, 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 1) = (0, -1). \] Agora, organizamos as imagens em colunas para formar a matriz \( M \): \[ M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}. \] Portanto, a representação matricial da transformação \( A \) nas bases canônicas de \( \mathbb{R}^{3} \) e \( \mathbb{R}^{2} \) é \[ M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}. \]