Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado 4) $$ f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} $$ en $$ [3,5] $$

Question

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Para hallar el valor promedio de la función $$ f(x) = \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} $$ en el intervalo $$[3, 5]$$, seguimos los siguientes pasos:

### 1. Fórmula del Valor Promedio

El valor promedio $$ A $$ de una función $$ f(x) $$ en el intervalo $$[a, b]$$ se calcula mediante:

$$
A = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$

### 2. Aplicando la Fórmula

Para la función dada:

$$
A = \frac{1}{5 - 3} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx = 10 \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx
$$

### 3. Resolviendo la Integral

Realizamos el cambio de variable $$ u = \sqrt{x^{2} - 9} $$, lo que implica:

$$
u^2 = x^2 - 9 \quad \Rightarrow \quad 2u \, du = 2x \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{u}{x} \, du
$$

Reemplazando en la integral:

$$
10 \int_{0}^{4} \frac{u}{x} \cdot \frac{u}{x} \, du = 10 \int_{0}^{4} \frac{u^2}{x^2} \, du = 10 \int_{0}^{4} \frac{u^2}{u^2 + 9} \, du
$$

Simplificamos la integral:

$$
10 \left[ \int_{0}^{4} 1 \, du - 9 \int_{0}^{4} \frac{1}{u^2 + 9} \, du \right] = 10 \left[ 4 - 9 \cdot \left( \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{u}{3}\right) \bigg|_{0}^{4} \right) \right]
$$

Calculando los valores:

$$
= 10 \left[ 4 - 3 \left( \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) - 0 \right) \right]
$$

Sabemos que:

$$
\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.9273 \text{ radianes}
$$

Por lo tanto:

$$
A \approx 10 \left[ 4 - 3 \times 0.9273 \right] = 10 \left[ 4 - 2.7819 \right] = 10 \times 1.2181 = 12.181
$$

### 4. Resultado Final

El valor promedio de la función $$ f(x) = \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} $$ en el intervalo $$[3, 5]$$ es aproximadamente **12.18**.
El valor promedio de la función $$ f(x) = \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} $$ en el intervalo $$[3, 5]$$ es aproximadamente **12.18**.

Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado 4) \( f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} \) en \( [3,5] \)

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