grafica las siguientes funciones cuadráticas \( f(x)=x^{2}+6 x+10 \)

Para graficar la función cuadrática \( f(x) = x^2 + 6x + 10 \), primero podemos identificar algunos elementos importantes de la parábola que representa esta función. 1. **Forma estándar**: La función está en la forma estándar \( f(x) = ax^2 + bx + c \), donde \( a = 1 \), \( b = 6 \) y \( c = 10 \). 2. **Vértice**: El vértice de la parábola se puede encontrar usando la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \). \[ x_v = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 \] Para encontrar la coordenada \( y \) del vértice, sustituimos \( x_v \) en la función: \[ f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 10 = 9 - 18 + 10 = 1 \] Por lo tanto, el vértice es \( (-3, 1) \). 3. **Intersecciones con el eje \( y \)**: Para encontrar la intersección con el eje \( y \), evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = 0^2 + 6(0) + 10 = 10 \] Así que la intersección con el eje \( y \) es \( (0, 10) \). 4. **Intersecciones con el eje \( x \)**: Para encontrar las intersecciones con el eje \( x \), resolvemos la ecuación \( f(x) = 0 \): \[ x^2 + 6x + 10 = 0 \] Usamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-4}}{2} \] Esto nos da: \[ x = \frac{-6 \pm 2i}{2} = -3 \pm i \] Esto significa que no hay intersecciones reales con el eje \( x \) (las raíces son complejas). 5. **Gráfica**: La parábola abre hacia arriba (ya que \( a > 0 \)) y tiene su vértice en \( (-3, 1) \). La intersección con el eje \( y \) es \( (0, 10) \). Ahora, podemos graficar la función. La gráfica se verá como una parábola que tiene su vértice en \( (-3, 1) \) y que no corta el eje \( x \). Si necesitas una representación visual, puedes usar herramientas de graficación como Desmos, GeoGebra o cualquier software de gráficos. Aquí te dejo una descripción de cómo se vería la gráfica: - La parábola se abre hacia arriba. - El vértice está en el punto \( (-3, 1) \). - La parábola pasa por el punto \( (0, 10) \) en el eje \( y \). - No hay intersecciones con el eje \( x \). Si necesitas más detalles o ayuda con otra función, ¡házmelo saber!