Soit, pour tout réel \( x>0: f(x)=(2 x+1) \ln x \). Alors la dérivée est \( f^{\prime}(x)=\ldots \) a. \( 2 \ln x+2+\frac{1}{x} \) b. \( \frac{2}{x} \) c. \( 2 \ln x-2-\frac{1}{x} \)

Pour déterminer la dérivée de la fonction \( f(x)=(2x+1) \ln x \), nous utiliserons la règle du produit. Si nous posons \( u = 2x + 1 \) et \( v = \ln x \), alors \( f(x) = u \cdot v \). La dérivée est donnée par \( f'(x) = u'v + uv' \). Ici, \( u' = 2 \) et \( v' = \frac{1}{x} \). En substituant dans l'équation, nous obtenons : \[ f'(x) = (2)(\ln x) + (2x+1)\left(\frac{1}{x}\right) = 2 \ln x + \frac{2x+1}{x} = 2 \ln x + 2 + \frac{1}{x}. \] Il en résulte que la réponse correcte est : **a. \( 2 \ln x + 2 + \frac{1}{x} \)**. --- En parlant des dérivées, une petite anecdote : l'idée de la dérivée est présente depuis le XVIIe siècle, avec des mathématiciens comme Newton et Leibniz qui ont développé des concepts jusqu'à nos jours. Cette notion est la pierre angulaire du calcul différentiel, utilisée pour modéliser des changements dans de nombreux domaines, des sciences physiques à l’économie. Pour ceux qui veulent approfondir leurs connaissances, il existe de nombreux livres captivants sur l'analyse mathématique, tels que "Calculus" de Michael Spivak ou "Differential Calculus" de Tom M. Apostol. Ils abordent les concepts de manière intuitive, avec une richesse d'exemples et d'exercices pour maîtriser ces idées fondamentales.