80. Il quadrato, costruito sulla diagonale di un rettangolo ha un'area di $$ 45 \mathrm{~cm}^{2} $$. Il rettangolo ha un lato che è il doppio dell'altro e ha peri- metro e area (espresse in cm e $$ \mathrm{cm}^{2} $$ ) aventi lo stesso valore: calcola i latie il valore di peri- metro e area. $$ \quad[3 \mathrm{~cm} ; 6 \mathrm{~cm}: 18 \mathrm{~cm} \cdot 18 $$

Question

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Per risolvere il problema, seguiamo i seguenti passaggi:

**Dati:**
- La figura costruita sulla diagonale del rettangolo è un quadrato di area $$45 \, \text{cm}^2$$.
- Il rettangolo ha un lato che è il doppio dell'altro.
- Il perimetro e l'area del rettangolo hanno lo stesso valore numerico.

**Passaggio 1: Calcolare la diagonale del rettangolo**
L'area del quadrato costruito sulla diagonale è data da:
$$
\text{Area del quadrato} = \text{diagonale}^2 = 45 \, \text{cm}^2
$$
Quindi, la diagonale $$d$$ è:
$$
d = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \, \text{cm}
$$

**Passaggio 2: Relazione tra i lati del rettangolo**
Sia $$x$$ il lato più corto del rettangolo. L'altro lato sarà quindi $$2x$$.

La diagonale del rettangolo, secondo il teorema di Pitagora, è:
$$
d = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}
$$
Abbiamo già trovato che $$d = 3\sqrt{5}$$, quindi:
$$
x\sqrt{5} = 3\sqrt{5} \implies x = 3 \, \text{cm}
$$
Pertanto, i lati del rettangolo sono:
$$
x = 3 \, \text{cm} \quad \text{e} \quad 2x = 6 \, \text{cm}
$$

**Passaggio 3: Calcolare perimetro e area del rettangolo**
- **Perimetro ($$P$$)**:
$$
P = 2(x + 2x) = 2(3 + 6) = 2 \times 9 = 18 \, \text{cm}
$$
- **Area ($$A$$)**:
$$
A = x \times 2x = 3 \times 6 = 18 \, \text{cm}^2
$$

**Risultato Finale:**
- **Lati del rettangolo:** $$3 \, \text{cm}$$ e $$6 \, \text{cm}$$
- **Perimetro:** $$18 \, \text{cm}$$
- **Area:** $$18 \, \text{cm}^2$$

Quindi, le risposte sono:
$$
\boxed{3 \, \text{cm};\, 6 \, \text{cm} : 18 \, \text{cm} \cdot 18 \, \text{cm}^2}
$$
I lati del rettangolo sono 3 cm e 6 cm. Il perimetro è 18 cm e l'area è 18 cm².

Il quadrato, costruito sulla diagonale di un
rettangolo ha un’area di . Il rettangolo
ha un lato che è il doppio dell’altro e ha peri-
metro e area (espresse in cm e ) aventi lo
stesso valore: calcola i latie il valore di peri-
metro e area.

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Il quadrato, costruito sulla diagonale di un rettangolo ha un’area di . Il rettangolo ha un lato che è il doppio dell’altro e ha peri- metro e area (espresse in cm e ) aventi lo stesso valore: calcola i latie il valore di peri- metro e area.