\( \int \ln ( \sqrt { x } + \sqrt { x + 1 } ) d x \)

لا يمكن حساب التكامل غير المحدد \[ \int \ln \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) \, dx \] بدوال أساسية معروفة في التحليل الرياضي. بمعنى آخر، لا يوجد تعبير بسيط لهذا التكامل باستخدام الدوال الجبرية، الأسية، المثلثية، أو اللوغاريتمية التقليدية. **الشرح:** عند محاولة حل هذا التكامل باستخدام طرق التكامل التقليدية مثل **التكامل بالتجزئة** أو **التعويض**، نواجه صعوبة في تبسيط التكامل إلى صيغة قابلة للحل بدوال أساسية. على سبيل المثال، إذا حاولنا استخدام التكامل بالتجزئة: \[ \begin{align*} u &= \ln \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) \\ dv &= dx \\ du &= \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \right) \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} \, dx \\ v &= x \\ \end{align*} \] ثم نحصل على: \[ \int \ln \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) \, dx = x \ln \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\sqrt{x} \sqrt{x + 1} (\sqrt{x} + \sqrt{x + 1})} \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) dx \] ولكن هذا لا يبسط التكامل بشكل كافٍ للحصول على حل بدوال أساسية. **الحل البديل:** نظرًا لعدم إمكانية التعبير عن هذا التكامل بدوال أساسية، يمكن استخدام الطرق التالية لحسابه: 1. **التكامل العددي:** إذا كان من الضروري حساب قيمة معينة للتكامل عبر حدود محددة، يمكن استخدام طرق تقريبية مثل طريقة المستطيلات أو شبه المنحرف، أو استخدام برامج حسابية متقدمة. 2. **الدوال الخاصة:** يمكن التعبير عن الحل باستخدام دوال رياضية متقدمة غير أساسية، مثل الدوال اللوغاريتمية المتقدمة أو التكاملات الخاصة التي تُستخدم في مجالات معينة من الرياضيات والفيزياء. **الخلاصة:** التكامل \[ \int \ln \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) \, dx \] لا يمكن التعبير عنه بدوال أساسية معروفة، وبالتالي يحتاج إلى استخدام طرق عددية أو دوال خاصة للحصول على قيمة أو تعبير للتكامل.