$$ \int \ln ( \sqrt { x } + \sqrt { x + 1 } ) d x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

لا يمكن حساب التكامل غير المحدد

$$
\int \ln \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) \, dx
$$

بدوال أساسية معروفة في التحليل الرياضي. بمعنى آخر، لا يوجد تعبير بسيط لهذا التكامل باستخدام الدوال الجبرية، الأسية، المثلثية، أو اللوغاريتمية التقليدية.

**الشرح:**

عند محاولة حل هذا التكامل باستخدام طرق التكامل التقليدية مثل **التكامل بالتجزئة** أو **التعويض**، نواجه صعوبة في تبسيط التكامل إلى صيغة قابلة للحل بدوال أساسية. على سبيل المثال، إذا حاولنا استخدام التكامل بالتجزئة:

$$
\begin{align*}
u &= \ln \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) \
dv &= dx \
du &= \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} \right) \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} \, dx \
v &= x \
\end{align*}
$$

ثم نحصل على:

$$
\int \ln \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) \, dx = x \ln \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\sqrt{x} \sqrt{x + 1} (\sqrt{x} + \sqrt{x + 1})} \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) dx
$$

ولكن هذا لا يبسط التكامل بشكل كافٍ للحصول على حل بدوال أساسية.

**الحل البديل:**

نظرًا لعدم إمكانية التعبير عن هذا التكامل بدوال أساسية، يمكن استخدام الطرق التالية لحسابه:

1. **التكامل العددي:** إذا كان من الضروري حساب قيمة معينة للتكامل عبر حدود محددة، يمكن استخدام طرق تقريبية مثل طريقة المستطيلات أو شبه المنحرف، أو استخدام برامج حسابية متقدمة.

2. **الدوال الخاصة:** يمكن التعبير عن الحل باستخدام دوال رياضية متقدمة غير أساسية، مثل الدوال اللوغاريتمية المتقدمة أو التكاملات الخاصة التي تُستخدم في مجالات معينة من الرياضيات والفيزياء.

**الخلاصة:**

التكامل

$$
\int \ln \left( \sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) \, dx
$$

لا يمكن التعبير عنه بدوال أساسية معروفة، وبالتالي يحتاج إلى استخدام طرق عددية أو دوال خاصة للحصول على قيمة أو تعبير للتكامل.
التكامل غير قابل للحل باستخدام الدوال الأساسية، لذا يجب استخدام الطرق العددية أو الدوال الخاصة لحسابه.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Calculus Questions