5. Considera uma certa linha \( n \) do triângulo de Pascal. Sabe-se que \( { }^{n} C_{6}+{ }^{n} C_{7}+{ }^{n+1} C_{8}={ }^{n+2} C_{20} \). Sem recorrer à calculadora, a não ser para eventuais cálculos numéricos, determina a soma elementos da linha \( n+1 \).

Vamos começar a analisar a equação dada: \[ { }^{n} C_{6}+{ }^{n} C_{7}+{ }^{n+1} C_{8}={ }^{n+2} C_{20} \] Sabemos que as combinações podem ser representadas como: - \( { }^{n} C_{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) para \( k = 6, 7 \) - \( { }^{n+1} C_{8} = \frac{(n+1)!}{8!(n+1-8)!} \) - \( { }^{n+2} C_{20} = \frac{(n+2)!}{20!(n+2-20)!} \) A relação que se deseja desvendar envolve as combinações que pertencem às linhas \( n \), \( n+1 \) e \( n+2 \) do triângulo de Pascal. Segundo as propriedades do triângulo de Pascal, temos que: \[ { }^{n} C_{k} + { }^{n} C_{k+1} = { }^{n+1} C_{k+1} \] Neste caso, podemos utilizar a identidade básica das combinações para combinar as somas de \( { }^{n} C_{6} \) e \( { }^{n} C_{7} \): \[ { }^{n} C_{6} + { }^{n} C_{7} = { }^{n+1} C_{7} \] Portanto, podemos substituir na nossa equação: \[ { }^{n+1} C_{7} + { }^{n+1} C_{8} = { }^{n+2} C_{20} \] E, novamente, usando a propriedade do triângulo: \[ { }^{n+1} C_{7} + { }^{n+1} C_{8} = { }^{n+2} C_{8} \] Assim, podemos substituir \( { }^{n+2} C_{20} \) para \( { }^{n+2} C_{8} \) em condições ideais que temos, levando a um equacionamento correto. Agora, para encontrar a soma dos elementos da linha \( n+1 \): A soma dos elementos de uma linha do triângulo de Pascal é dada por \( 2^{n}\): \[ S_{n+1} = 2^{n+1} \] Portanto, a soma dos elementos da linha \( n+1 \) é \( 2^{n+1} \).