\( \begin{array}{l} k \text { : }\\ \left\{\begin{array}{l} x+2 k y+5 k z=1 \\ x+4 y+10 z=1 \end{array}\right. \end{array} \)

Per risolvere il sistema di equazioni lineari: \[ \begin{cases} x + 2k\, y + 5k\, z = 1 \\ x + 4\, y + 10\, z = 1 \end{cases} \] procediamo nel seguente modo: 1. **Sottrazione delle equazioni:** Sottraiamo la seconda equazione dalla prima per eliminare \( x \): \[ (x + 2k\, y + 5k\, z) - (x + 4\, y + 10\, z) = 1 - 1 \] Questo semplifica a: \[ (2k - 4)\, y + (5k - 10)\, z = 0 \] Possiamo fattorizzare: \[ 2(k - 2)\, y + 5(k - 2)\, z = 0 \implies (k - 2)(2y + 5z) = 0 \] 2. **Casi da considerare:** Ci sono due possibilità principali basate sul valore di \( k \): - **Caso 1: \( k = 2 \)** Se \( k = 2 \), l'equazione risultante diventa \( 0 = 0 \), il che significa che le due equazioni originali sono identiche: \[ x + 4\, y + 10\, z = 1 \] In questo caso, il sistema ha **infinite soluzioni**. Possiamo esprimere \( x \) in funzione di \( y \) e \( z \): \[ x = 1 - 4\, y - 10\, z \] Dove \( y \) e \( z \) possono assumere qualsiasi valore reale. - **Caso 2: \( k \neq 2 \)** Se \( k \neq 2 \), allora: \[ 2y + 5z = 0 \implies y = -\frac{5}{2}\, z \] Sostituendo \( y \) nella prima equazione: \[ x + 2k\left(-\frac{5}{2}\, z\right) + 5k\, z = 1 \implies x - 5k\, z + 5k\, z = 1 \implies x = 1 \] In questo caso, le soluzioni del sistema sono: \[ x = 1, \quad y = -\frac{5}{2}\, z, \quad z \text{ è libero} \] Anche in questo caso, il sistema ha **infinite soluzioni**, ma la relazione tra \( y \) e \( z \) è vincolata dalla equazione \( y = -\frac{5}{2}\, z \), mentre \( x \) è costante. 3. **Conclusione:** Indipendentemente dal valore di \( k \), il sistema presentato ha **infinite soluzioni**. La natura delle soluzioni dipende dal valore di \( k \): - Se \( k = 2 \), \( x \) è espresso in funzione di \( y \) e \( z \) senza ulteriori restrizioni. - Se \( k \neq 2 \), \( x \) è sempre 1 e \( y \) è proporzionale a \( z \) secondo la relazione \( y = -\frac{5}{2}\, z \). Questa analisi completa la risoluzione del sistema dato.