\( | 2 z - 3 | = | z + i | \)

Per risolvere l'equazione \( |2z - 3| = |z + i| \), seguiamo i passaggi dettagliati di seguito. ### Passo 1: Sostituzione di \( z \) Sia \( z = x + iy \), dove \( x \) e \( y \) sono numeri reali. ### Passo 2: Espressione delle moduli Calcoliamo i moduli dei due lati dell'equazione: \[ |2z - 3| = |2(x + iy) - 3| = |(2x - 3) + i(2y)| = \sqrt{(2x - 3)^2 + (2y)^2} \] \[ |z + i| = |x + i(y + 1)| = \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} \] ### Passo 3: Uguagliamento dei moduli Poniamo i due moduli uguali: \[ \sqrt{(2x - 3)^2 + (2y)^2} = \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} \] ### Passo 4: Elevazione al quadrato Per eliminare le radici quadrate, eleviamo al quadrato entrambi i lati: \[ (2x - 3)^2 + (2y)^2 = x^2 + (y + 1)^2 \] ### Passo 5: Sviluppo e semplificazione Espandiamo e semplifichiamo l'equazione: \[ 4x^2 - 12x + 9 + 4y^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1 \] Portiamo tutti i termini a sinistra: \[ 4x^2 - 12x + 9 + 4y^2 - x^2 - y^2 - 2y - 1 = 0 \] Semplificando: \[ 3x^2 - 12x + 3y^2 - 2y + 8 = 0 \] Dividiamo per 3: \[ x^2 - 4x + y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{8}{3} = 0 \] ### Passo 6: Completamento del quadrato Completiamo il quadrato per le variabili \( x \) e \( y \): Per \( x \): \[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \] Per \( y \): \[ y^2 - \frac{2}{3}y = \left(y - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9} \] Sostituendo nell'equazione: \[ (x - 2)^2 - 4 + \left(y - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{9} + \frac{8}{3} = 0 \] Semplificando: \[ (x - 2)^2 + \left(y - \frac{1}{3}\right)^2 = \frac{13}{9} \] ### Passo 7: Interpretazione geometrica L'equazione risultante rappresenta un **cerchio** nel piano complesso con: - **Centro**: \( \left(2, \frac{1}{3}\right) \) - **Raggio**: \( \frac{\sqrt{13}}{3} \) ### Soluzione Finale Tutti i numeri complessi \( z = x + iy \) che soddisfano l'equazione originale appartengono al cerchio descritto sopra. In altre parole: \[ z = x + iy \quad \text{con} \quad (x - 2)^2 + \left(y - \frac{1}{3}\right)^2 = \frac{13}{9} \]