№ 6.43. Найти \( y^{(n)} \), если \( y=\ln x \). №6.44. Показать, что функция \( y=x \cdot e^{3 x} \) является решением уравне- ния \( y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0 \).

**№ 6.43. Найти \( y^{(n)} \), если \( y = \ln x \).** Для нахождения \( n \)-ой производной функции \( y = \ln x \) рассмотрим последовательные производные: 1. Первая производная: \[ y' = \frac{1}{x} \] 2. Вторая производная: \[ y'' = -\frac{1}{x^2} \] 3. Третья производная: \[ y''' = \frac{2}{x^3} \] Наблюдая закономерность, можно записать общую формулу для \( n \)-ой производной: \[ y^{(n)} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(n-1)!}{x^n} \] Таким образом, \[ y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1} \cdot (n-1)!}{x^{\,n}} \] --- **№6.44. Показать, что функция \( y = x \cdot e^{3x} \) является решением уравнения \( y'' - 6y' + 9y = 0 \).** Рассмотрим функцию \( y = x \cdot e^{3x} \) и найдем её первые и вторые производные: 1. Первая производная: \[ y' = e^{3x} + 3x \cdot e^{3x} \] 2. Вторая производная: \[ y'' = 3e^{3x} + 3e^{3x} + 9x \cdot e^{3x} = 6e^{3x} + 9x \cdot e^{3x} \] Теперь подставим \( y \), \( y' \) и \( y'' \) в уравнение: \[ y'' - 6y' + 9y = (6e^{3x} + 9x e^{3x}) - 6(e^{3x} + 3x e^{3x}) + 9(x e^{3x}) \] Раскрываем скобки: \[ = 6e^{3x} + 9x e^{3x} - 6e^{3x} - 18x e^{3x} + 9x e^{3x} \] Сокращаем и упрощаем: \[ = (6e^{3x} - 6e^{3x}) + (9x e^{3x} - 18x e^{3x} + 9x e^{3x}) = 0 + 0 = 0 \] Таким образом, равенство \( y'' - 6y' + 9y = 0 \) выполняется, что подтверждает, что функция \( y = x \cdot e^{3x} \) является решением данного дифференциального уравнения.