reffen. Franz fahrt zum Zeitpunkt $$ \mathrm{t}=0 $$ mit $$ 18 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$ in Richtung Freibad; Theo folgt ir gine Minute spater mit $$ 27 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$. Zeichnen Sie beide Bewegungen in ein gemeinsames Ort-Zeit-Diagramm, formulieren Sie die Ort-Zeit-Gleichungen bestimmen Sie rechnerisch die Zeit und den Ort, an dem Franz von Theo eingeholt wird.

Question

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**1. Aufstellen der Ort-Zeit-Gleichungen**

Für Franz, der bei $$ t = 0 $$ startet, gilt:
$$
x_F(t) = 18\,t
$$
Für Theo, der eine Minute später startet, also bei $$ t = \frac{1}{60} $$ Stunden, gilt (für $$ t \ge \frac{1}{60} $$):
$$
x_T(t) = 27\left(t - \frac{1}{60}\right)
$$

**2. Bestimmung des Treffpunkts**

Franz und Theo treffen sich, wenn $$ x_F(t) = x_T(t) $$. Setzen wir die Gleichungen gleich:
$$
18\,t = 27\left(t - \frac{1}{60}\right)
$$

Wir lösen die Gleichung schrittweise:

1. Ausmultiplizieren der rechten Seite:
   $$
   18\,t = 27t - \frac{27}{60}
   $$

2. Umformen der Gleichung:
   $$
   27t - 18t = \frac{27}{60}
   $$
   $$
   9t = \frac{27}{60}
   $$

3. Lösung nach $$ t $$:
   $$
   t = \frac{27}{60 \cdot 9} = \frac{27}{540} = 0,05\ \text{Stunden}
   $$

Um die Zeit in Minuten anzugeben, rechnen wir um:
$$
0,05\,\text{Stunden} \times 60\,\frac{\text{Minuten}}{\text{Stunde}} = 3\,\text{Minuten}
$$

**3. Bestimmung des Ortes**

Setzen wir $$ t = 0,05 $$ Stunden in Franz' Gleichung ein:
$$
x_F(0,05) = 18 \times 0,05 = 0,9\ \text{km}
$$

Alternativ in Theo's Gleichung (beachte, dass Theo erst ab $$ t \ge \frac{1}{60} $$ startet):
$$
x_T(0,05) = 27\left(0,05 - \frac{1}{60}\right) = 27\left(0,05 - 0,01667\right) = 27 \times 0,03333 \approx 0,9\ \text{km}
$$

**4. Diagrammerläuterung**

- Die Gerade für Franz beginnt im Ursprung $$(0,0)$$ und steigt mit der Steigung $$18\,\text{km/h}$$.
- Die Gerade für Theo beginnt bei $$ t=\frac{1}{60} $$ Stunden, also hat sie einen Versatz in der Zeit und steigt mit der Steigung $$27\,\text{km/h}$$.

Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt:
$$
(t,\, x) = \left(0,05\ \text{Stunden},\ 0,9\ \text{km}\right)
$$
was bedeutet, dass Theo Franz genau 3 Minuten nach Franz' Start bei einer Strecke von 0,9 km eingeholt hat.
**Franz und Theo treffen sich 3 Minuten nach Franz' Start bei einer Strecke von 0,9 km.**

reffen.
Franz fahrt zum Zeitpunkt mit in Richtung Freibad; Theo folgt ir
gine Minute spater mit . Zeichnen Sie beide Bewegungen in ein
gemeinsames Ort-Zeit-Diagramm, formulieren Sie die Ort-Zeit-Gleichungen
bestimmen Sie rechnerisch die Zeit und den Ort, an dem Franz von Theo
eingeholt wird.

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reffen. Franz fahrt zum Zeitpunkt mit in Richtung Freibad; Theo folgt ir gine Minute spater mit . Zeichnen Sie beide Bewegungen in ein gemeinsames Ort-Zeit-Diagramm, formulieren Sie die Ort-Zeit-Gleichungen bestimmen Sie rechnerisch die Zeit und den Ort, an dem Franz von Theo eingeholt wird.