\( (1,1,1,1),(1,-1,1,1),(1,5,1,1),(1,-2,2,1) \) di \( \mathbb{R}^{4} \) : generano un sottospazio vettoriale di dimensione 3. sono linearmente indipendenti. costituiscono una base di \( \mathbb{R}^{4} \). generano un sottospazio vettoriale di dimensione 2.

Le quattro righe fornite sono vettori nello spazio \( \mathbb{R}^{4} \). Per determinare se generano un sottospazio vettoriale di dimensione 3, 2 o se sono linearmente indipendenti, è utile calcolare il rango della matrice formata da questi vettori. Se calcoliamo il determinante, oppure portiamo la matrice a forma normale di Gauss, possiamo vedere che il rango è 3, il che significa che generano un sottospazio di dimensione 3. Inoltre, dato che abbiamo quattro vettori in un \( \mathbb{R}^{4} \), non possono essere tutti linearmente indipendenti, il che implica che non possono costituire una base per \( \mathbb{R}^{4} \). Di conseguenza, generano un sottospazio di dimensione inferiore a 4, quindi confermiamo che generano un sottospazio vettoriale di dimensione 3.