1) Grafique (Debe tabular) Determine el Dominio y Recorrido a) $$ f(x)=2 x^{2}+4 x $$ b) $$ f(x)=5 x^{4}+4 x^{3}+2 x-1 $$ c) $$ f(x)=\frac{4 x^{3}-x^{2}+2 x-4}{5 x-2} $$ d) $$ f(x)=\frac{4 x^{1 / 2}}{x} $$ e) $$ f(x)=e^{1 / 2}+e^{x} $$

Question

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### a) $$ f(x)=2x^2+4x $$

1. **Dominio:**  
   La función está definida para todo $$ x\in\mathbb{R} $$.  
   $$
   \text{Dominio}: \ (-\infty,\infty)
   $$

2. **Recorrido:**  
   Se puede completar el cuadrado para identificar el vértice:  
   $$
   2x^2+4x = 2\Bigl(x^2+2x\Bigr)=2\Bigl[(x+1)^2-1\Bigr]=2(x+1)^2-2.
   $$
   La función cuadrática alcanza su mínimo en $$ x=-1 $$ con valor mínimo $$ f(-1)=-2 $$.  
   $$
   \text{Recorrido}: \ [-2,\infty)
   $$

3. **Tabla de valores (algunos puntos):**

| $$ x $$ | $$ f(x)=2x^2+4x $$ |
|---------|--------------------|
| -3      | $$2(9)-12=18-12=6$$    |
| -2      | $$2(4)-8=8-8=0$$       |
| -1      | $$2(1)-4=-2$$          |
| 0       | $$0$$                  |
| 1       | $$2(1)+4=2+4=6$$        |
| 2       | $$2(4)+8=8+8=16$$       |

---

### b) $$ f(x)=5x^4+4x^3+2x-1 $$

1. **Dominio:**  
   Al ser un polinomio, está definido para todo $$ x\in\mathbb{R} $$.  
   $$
   \text{Dominio}: \ (-\infty,\infty)
   $$

2. **Recorrido:**  
   El término de mayor grado es $$ 5x^4 $$ (grado par y coeficiente positivo), por lo que  
   $$
   \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty.
   $$
   Existe un mínimo local (obtenido, por ejemplo, buscando la derivada), y se puede notar que para $$ x=0, \ f(0)=-1 $$ y para otros valores se obtiene incluso un valor menor. Cálculos aproximados indican que el mínimo se encuentra aproximadamente en $$ f(x) \approx -2.61 $$.  
   $$
   \text{Recorrido}: \ \left[-2.61,\infty\right) \quad (\text{aprox.})
   $$

3. **Tabla de valores (valores ilustrativos):**

| $$ x $$ | Cálculo aproximado de $$ f(x) $$                                      |
|---------|---------------------------------------------------------------------|
| -1      | $$5(1)+4(-1)+2(-1)-1=5-4-2-1=-2$$                                     |
| -0.8    | Se obtiene un valor cercano a $$-2.61$$ (valor mínimo aproximado)     |
| 0       | $$ -1 $$                                                            |
| 1       | $$ 5+4+2-1=10 $$                                                     |
| 2       | $$ 5(16)+4(8)+4-1=80+32+4-1=115 $$                                    |

*Nota:* Los valores en la tabla son aproximados; para un análisis gráfico detallado se recomienda usar una calculadora o software gráfico.

---

### c) $$ f(x)=\frac{4x^3 - x^2 + 2x - 4}{5x-2} $$

1. **Dominio:**  
   Es necesario que el denominador no sea cero:  
   $$
   5x-2\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq\frac{2}{5}.
   $$
   $$
   \text{Dominio}: \ \{x\in\mathbb{R} \mid x\neq\frac{2}{5}\}.
   $$

2. **Recorrido:**  
   Se puede realizar la división larga de polinomios:
   
   - Dividir $$4x^3 - x^2 + 2x - 4$$ entre $$5x-2$$:
     
     - **Primer término:**  
       $$\frac{4x^3}{5x}=\frac{4}{5}x^2$$. Multiplicando:  
       $$
       \frac{4}{5}x^2\,(5x-2)=4x^3-\frac{8}{5}x^2.
       $$
       Al restar, el residuo en el término cuadrático es:  
       $$
       -x^2-\left(-\frac{8}{5}x^2\right)=\frac{3}{5}x^2.
       $$
     
     - **Segundo término:**  
       Dividir $$\frac{3}{5}x^2$$ entre $$5x$$ da:  
       $$\frac{3}{25}x$$. Multiplicando:  
       $$
       \frac{3}{25}x(5x-2)=\frac{3}{5}x^2-\frac{6}{25}x.
       $$
       El residuo en el término lineal es:  
       $$
       2x-\left(-\frac{6}{25}x\right)=\frac{56}{25}x.
       $$
       
     - **Tercer término:**  
       Dividir $$\frac{56}{25}x$$ entre $$5x$$ da:  
       $$\frac{56}{125}\
### a) $$ f(x)=2x^2+4x $$ - **Dominio:** Todos los números reales. - **Recorrido:** Todos los números reales mayores o iguales a -2. ### b) $$ f(x)=5x^4+4x^3+2x-1 $$ - **Dominio:** Todos los números reales. - **Recorrido:** Todos los números reales mayores o iguales a aproximadamente -2.61. ### c) $$ f(x)=\frac{4x^3 - x^2 + 2x - 4}{5x-2} $$ - **Dominio:** Todos los números reales excepto $$ x = \frac{2}{5} $$. - **Recorrido:** Todos los números reales. ### d) $$ f(x)=\frac{4x^{1/2}}{x} $$ - **Dominio:** $$ x > 0 $$. - **Recorrido:** Todos los números reales positivos. ### e) $$ f(x)=e^{1/2}+e^{x} $$ - **Dominio:** Todos los números reales. - **Recorrido:** Todos los números reales mayores que $$ e^{1/2} $$.

Grafique (Debe tabular) Determine
el Dominio y Recorrido
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