Exercice 4 Soient \( A B C D \) est un parallélogramme et les points \( F \), I et E définis par: \( \overrightarrow{A F}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B} \), I milieu do [BC], E symétrique de I par rapport à B . 1) Faire une figure. 2) Exprimer \( \overrightarrow{C E} \) en fonction de \( \overrightarrow{C B} \). (Justifier) 3) Exprimer \( \overrightarrow{D F} \) et \( \overrightarrow{D F} \) en fonction de \( \overrightarrow{C B} \) et de \( \overrightarrow{A B} \). 4) En déduire que les points \( \mathrm{E}, \mathrm{F} \) et D sont alignés.

Pour faire une figure, commence par dessiner un parallélogramme \( ABCD \). Positionne les points \( A \), \( B \), \( C \) et \( D \) dans le sens des aiguilles d'une montre. Trace ensuite le segment \( A F \) tel que \( \overrightarrow{A F} = \frac{2}{3} \overrightarrow{A B} \). Positionne le point \( I \) au milieu du segment \( [BC] \), puis trouve le point \( E \) en le plaçant symétriquement par rapport à \( B \). Pour exprimer \( \overrightarrow{C E} \), on utilise \( \overrightarrow{C E} = \overrightarrow{C B} + \overrightarrow{B E} \). Comme \( E \) est le symétrique de \( I \) par rapport à \( B \), on a \( \overrightarrow{B E} = \overrightarrow{B I} \) en opposition de sens, donc \( \overrightarrow{B E} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{C B} \) (en tenant compte que \( I \) est le milieu et que \( \overrightarrow{B I} = \frac{1}{2}\overrightarrow{C B} \)) et par conséquent \( \overrightarrow{C E} = \overrightarrow{C B} - \frac{1}{2} \overrightarrow{C B} = \frac{1}{2}\overrightarrow{C B} \). Pour \( D \), on sait que \( \overrightarrow{D F} = \overrightarrow{D A} + \overrightarrow{A F} = \overrightarrow{D A} + \frac{2}{3} \overrightarrow{A B} \). Étant donné que \( \overrightarrow{D A} = -\overrightarrow{A C} \) et que \( \overrightarrow{A C} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B C} \), cela se traduit par \( \overrightarrow{D F} \) étant en partie dépendant de \( \overrightarrow{C B}\) et \( \overrightarrow{A B} \). Pour conclure que \( E, F, D \) sont alignés, nous pouvons montrer que les vecteurs \( \overrightarrow{E F} \) et \( \overrightarrow{F D} \) sont colinéaires. Par la définition des vecteurs, et grâce aux relations existantes, il est possible de prouver que \( \overrightarrow{E F} \) est un multiple de \( \overrightarrow{F D} \), ce qui implique l'alignement.