Pregunta 3 Se analiza a los 3 vendedares que tiene a su cargo un supervisor de una aseguradora: Lais vende \( 41 \% \) de las pólizas, Luisa vende \( 34 \% \) y carnilo el resto. Luis tiene quejas en \( 8 \% \) de las pólizas que vende, Luisa en \( 6 \% \) y Carnilo en \( 8 \% \). Si un cliente presenta una queja, ¿cuál es la probabilidad de que Luis vendiera la póliza? (Comentario: Tenga presente para sus calculos y para su respuesta final 4 cifras decimales, escriba su respuesta en fomato decimal)

Para resolver este problema, utilizaremos el teorema de Bayes. Primero, definamos los eventos: - \( A_1 \): el evento de que la póliza fue vendida por Luis. - \( A_2 \): el evento de que la póliza fue vendida por Luisa. - \( A_3 \): el evento de que la póliza fue vendida por Carnilo. - \( B \): el evento de que hay una queja sobre la póliza. Sabemos que: - \( P(A_1) = 0.41 \) (probabilidad de que la póliza fue vendida por Luis) - \( P(A_2) = 0.34 \) (probabilidad de que la póliza fue vendida por Luisa) - \( P(A_3) = 1 - P(A_1) - P(A_2) = 1 - 0.41 - 0.34 = 0.25 \) (probabilidad de que la póliza fue vendida por Carnilo) Las probabilidades de que haya una queja dado que la póliza fue vendida por cada vendedor son: - \( P(B|A_1) = 0.08 \) (probabilidad de que haya una queja si la póliza fue vendida por Luis) - \( P(B|A_2) = 0.06 \) (probabilidad de que haya una queja si la póliza fue vendida por Luisa) - \( P(B|A_3) = 0.08 \) (probabilidad de que haya una queja si la póliza fue vendida por Carnilo) Ahora, necesitamos calcular \( P(B) \), la probabilidad total de que haya una queja. Esto se puede calcular usando la ley de la probabilidad total: \[ P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) \] Sustituyendo los valores: \[ P(B) = (0.08)(0.41) + (0.06)(0.34) + (0.08)(0.25) \] Calculamos cada término: \[ P(B) = 0.0328 + 0.0204 + 0.02 = 0.0732 \] Ahora, aplicamos el teorema de Bayes para encontrar \( P(A_1|B) \), la probabilidad de que Luis vendió la póliza dado que hay una queja: \[ P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} \] Sustituyendo los valores: \[ P(A_1|B) = \frac{(0.08)(0.41)}{0.0732} \] Calculamos el numerador: \[ (0.08)(0.41) = 0.0328 \] Ahora, calculamos \( P(A_1|B) \): \[ P(A_1|B) = \frac{0.0328}{0.0732} \approx 0.4470 \] Por lo tanto, la probabilidad de que Luis vendió la póliza dado que hay una queja es aproximadamente \( 0.4470 \). **Respuesta final: 0.4470**