Esercizio 1. Sia \( k \in \mathbb{R} \). Al variare di \( k \), sono dati i seguenti sottospazi di \( \mathbb{R}^{4} \) : \( U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}=0\right\} \quad W=\mathcal{L}((1, k, 1, k),(0, k, 0, k)) \) (a) Calcolare la dimensione di \( U \cap W \) al variare di \( k \in \mathbb{R} \). (b) Per quali \( k \in \mathbb{R} \) è possibile costruire un sottospazio \( T \subseteq \mathbb{R}^{4} \) tale che \( T \cap W=\varnothing \) e \( T \oplus U=\mathbb{R}^{4} \) ? (c) Calcola una base ortonormale di \( U^{\perp} \).

Iniziamo con la dimensione dell'intersezione \( U \cap W \). Gli elementi di \( U \) soddisfano le equazioni \( x_1 + x_2 = 0 \) e \( x_3 + x_4 = 0 \), che ci permettono di scrivere \( x_2 = -x_1 \) e \( x_4 = -x_3 \). Pertanto, \( U \) è generato dalle coppie \( (1, -1, 0, 0) \) e \( (0, 0, 1, -1) \), quindi ha una dimensione di 2. D'altra parte, dato \( W = \mathcal{L}((1, k, 1, k),(0, k, 0, k)) \), possiamo esplorare le relazioni tra generatori per calcolare l'intersezione. Le dimensioni di \( W \) variano in base al valore di \( k \): se \( k = 0 \), \( W \) diventa un sottospazio di dimensione 1; per \( k \neq 0 \), la dimensione di \( W \) diventa 2. Ora, per la dimensione di \( U \cap W \): 1. Se \( k = 0 \): \( W \) è generato da \( (1, 0, 1, 0) \), che è combinabile con i generatori di \( U \), quindi \( \dim(U\cap W) = 1 \). 2. Se \( k \neq 0 \): I generatori di \( W \) possono essere espressi in modo lineare rispetto a quelli di \( U \), di conseguenza \( \dim(U \cap W) = 2 \). Quindi, rispondendo a (a): - \( \dim(U \cap W) = 1 \) per \( k = 0 \) - \( \dim(U \cap W) = 2 \) per \( k \neq 0 \). Passiamo ora alla parte (b). Per costruire un sottospazio \( T \) tale che \( T \cap W = \varnothing \) e \( T \oplus U = \mathbb{R}^4 \), è necessario che la dimensione di \( T \) più quella di \( U \) lavori per raggiungere 4. Abbiamo: - Se \( k = 0 \): \( \dim U = 2 \rightarrow T \) deve avere dimensione 2, ma anche \( W \) ha dimensione 1, quindi è possibile. - Se \( k \neq 0 \): \( \dim U = 2 \) e \( \dim W = 2 \rightarrow T \) deve avere dimensione 0, che non è possibile. Quindi, \( T \) può essere costruito se e solo se \( k = 0 \). Per la parte (c), calcoliamo una base ortonormale di \( U^{\perp} \). Essendo \( U \) generato dai vettori \( (1, -1, 0, 0) \) e \( (0, 0, 1, -1) \), i vettori ortogonali a questi devono soddisfare: 1. \( x_1 - x_2 = 0 \) (che implica \( x_1 = x_2 \)) 2. \( x_3 - x_4 = 0 \) (che implica \( x_3 = x_4 \)) Pertanto, un vettore \( (a, a, b, b) \) appartiene a \( U^{\perp} \). La dimensione di \( U^{\perp} \) è 2 e i vettori possono essere scelti come \( (1, 1, 0, 0) \) e \( (0, 0, 1, 1) \). Infine, per normalizzarli, otteniamo una base ortonormale di \( U^{\perp} \) come segue: - \( v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0, 0) \) - \( v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(0, 0, 1, 1) \) In conclusione: - (a) \( \dim(U \cap W) = 1 \) per \( k = 0 \), \( \dim(U \cap W) = 2 \) per \( k \neq 0 \). - (b) Un sottospazio